高中数学 专题1.5.3 定积分的概念教案 新人教a版选修2-2

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1、定积分的概念【教学目标】1．了解定积分的概念，会用定义求定积分．2．理解定积分的几何意义．3．掌握定积分的基本性质．【教法指导】本节学习重点：掌握定积分的基本性质．本节学习难点：理解定积分的几何意义．【教学过程】☆复习引入☆任何一个平面图形都有面积，其中矩形、正方形、三角形、平行四边形、梯形等平面多边形的面积，可以利用相关公式进行计算．如图所示的平面图形，是由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的，称之为曲边梯形，如何计算这个曲边梯形的面积呢？解析：请同学思考并回顾以前所学知识并积极回答之.☆探索新知☆探究点一

2、　定积分的概念思考1　分析求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程，找一下它们的共同点．答　两个问题均可以通过“分割、近似代替、求和、取极限”解决，都可以归结为一个特定形式和的极限．思考2　怎样正确认识定积分ʃf(x)dx?(2)定积分就是和的极限(ξi)·Δx，而ʃf(x)dx只是这种极限的一种记号，读作“函数f(x)从a到b的定积分”．(3)函数f(x)在区间[a，b]上连续这一条件是不能忽视的，它保证了和的极限(定积分)的存在(实际上，函数连续是定积分存在的充分条件，而不是必要条件)．例1　利用定积分的定义，计算ʃx3dx的值．解　

3、令f(x)＝x3.(1)分割在区间[0,1]上等间隔地插入n－1个分点，把区间[0,1]等分成n个小区间[，](i＝1,2，…，n)，每个小区间的长度为Δx＝－＝.(2)近似代替、求和取ξi＝(i＝1,2，…，n)，则ʃx3dx≈Sn＝f()·Δx＝()3·＝i3＝·n2(n＋1)2＝(1＋)2.(3)取极限ʃx3dx＝Sn＝(1＋)2＝.反思与感悟　(1)利用定积分定义求定积分的数值仍然是“分割、近似代替、求和、取极值”这一过程，需要注意的是在本题中将近似代替、求和一起作为步骤(2)，从而省略了解题步骤．(2)从过程来看，当f(x)

4、≥0时，定积分就是区间对应曲边梯形的面积．跟踪训练1　用定义计算ʃ(1＋x)dx.2＋，从而得f(ξi)Δx＝(2＋)·＝＝·n＋[0＋1＋2＋…＋(n－1)]＝2＋·＝2＋.(3)取极限：S＝＝2＋＝.因此ʃ(1＋x)dx＝.探究点二　定积分的几何意义思考1　从几何上看，如果在区间[a，b]上函数f(x)连续且恒有f(x)≥0，那么ʃf(x)dx表示什么？答　当函数f(x)≥0时，定积分ʃf(x)dx在几何上表示由直线x＝a，x＝b(a

5、恒有f(x)≤0时，ʃf(x)dx表示的含义是什么？若f(x)有正有负呢？答　如果在区间[a，b]上，函数f(x)≤0时，那么曲边梯形位于x轴的下方(如图①)．由于>0，f(ξi)≤0，故f(ξi)≤0.从而定积分ʃf(x)dx≤0，这时它等于如图①所示曲边梯形面积的相反值，即ʃf(x)dx＝－S.当f(x)在区间[a，b]上有正有负时，定积分ʃf(x)dx表示介于x轴、函数f(x)的图象及直线x＝a，x＝b(a≠b)之间各部分面积的代数和(在x轴上方的取正，在x轴下方的取负)．(如图②)，即ʃf(x)dx＝－S1＋S2－S3.例2　

6、利用几何意义计算下列定积分：(1)ʃdx；(2)ʃ(3x＋1)dx.(2)由直线x＝－1，x＝3，y＝0，以及y＝3x＋1所围成的图形，如图所示：ʃ(3x＋1)dx表示由直线x＝－1，x＝3，y＝0以及y＝3x＋1所围成的图形在x轴上方的面积减去在x轴下方的面积，∴ʃ(3x＋1)dx＝×(3＋)×(3×3＋1)－(－＋1)×2＝－＝16.反思与感悟　利用几何意义求定积分，关键是准确确定被积函数的图象，以及积分区间，正确利用相关的几何知识求面积．不规则的图象常用分割法求面积，注意分割点的准确确定．跟踪训练2　根据定积分的几何意义求下列定

7、积分的值：(1)ʃxdx；(2)ʃcosxdx；(3)ʃ

8、x

9、dx.解　(1)如图(1)，ʃxdx＝－A1＋A1＝0.(2)如图(2)，ʃcosxdx＝A1－A2＋A3＝0.(3)如图(3)，∵A1＝A2，∴ʃ

10、x

11、dx＝2A1＝2×＝1.(A1，A2，A3分别表示图中相应各处面积)　探究点三　定积分的性质思考1　定积分的性质可作哪些推广？答　定积分的性质的推广①ʃ[f1(x)±f2(x)±…±fn(x)]dx＝ʃf1(x)dx±ʃf2(x)dx±…±ʃfn(x)dx；②ʃf(x)dx＝ʃc1af(x)dx＋ʃc2c1f(x)dx＋…

12、＋ʃbcnf(x)dx(其中n∈N*)．思考2　如果一个函数具有奇偶性，它的定积分有什么性质？例3　计算ʃ(－x3)dx的值．解　如图，　　由定积分的几何意义得ʃdx＝＝，ʃx3dx＝0，由定积分性质得ʃ(－x3)dx＝