2013届高三数学第一轮复习《椭圆 》讲义

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1、椭圆要点梳理1．椭圆的概念在平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于

2、F1F2

3、)的点的轨迹叫__椭圆_____．这两定点叫做椭圆的__焦点__，两焦点间的距离叫做椭圆的__焦距______．集合P＝{M

4、

5、MF1

6、＋

7、MF2

8、＝2a}，

9、F1F2

10、＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数：(1)若___a>c_____，则集合P为椭圆；(2)若___a＝c_____，则集合P为线段；(3)若___ab>0)＋＝1(a>b>0)图形性质范围－a

11、≤x≤a－b≤y≤b－b≤x≤b－a≤y≤a对称性对称轴：坐标轴　　对称中心：原点顶点A1(－a,0)，A2(a,0)B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)B1(－b,0)，B2(b,0)轴长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b焦距

12、F1F2

13、＝2c离心率e＝∈(0,1)a，b，c的关系c2＝a2－b2椭圆的几何性质分为两类：一是与坐标轴无关的椭圆本身固有的性质，椭圆方程中的a、b、c、e与坐标系无关，第二类性质是随坐标系变化而相应改变，焦点坐标、顶点坐标等与坐标系有关．确定椭圆方程需要三个条件，两

14、个定形条件：a、b；一个定位条件：焦点坐标．(1)椭圆中有一个十分重要的三角形OF1B2(如右图)，它的三边长分别为a、b、c．易见c2=a2-b2，且若记∠OF1B2=θ，则cosθ==e．(2)椭圆的定义中应注意常数大于

15、F1F2

16、．因为当平面内的动点与定点F1、F2的距离之和等于

17、F1F2

18、时，其动点轨迹就是线段F1F2；当平面内的动点与定点F1、F2的距离之和小于

19、F1F2

20、时，其轨迹不存在．（3）椭圆上任意一点M到焦点F的所有距离中，长轴端点到焦点的距离分别为最大距离和最小距离，且最大距离为a＋c，最小距离为a－c．3．求

21、椭圆的标准方程，除了直接根据定义外，常用待定系数法(先定性，后定型，再定参)．当椭圆的焦点位置不明确而无法确定其标准方程时，可设方程为＋＝1(m>0，n>0且m≠n)，可以避免讨论和繁杂的计算，也可以设为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0且A≠B)，这种形式在解题中更简便．基础自测：1．椭圆5x2＋ky2＝5的一个焦点是(0,2)，那么k等于(　　)A．－1B．1C.D．－2．已知F1，F2是椭圆＋＝1的两焦点，过点F2的直线交椭圆于A，B两点．在△AF1B中，若有两边之和是10，则第三边的长度为(　　)A．6B．5C．4D．33．

22、已知圆(x＋2)2＋y2＝36的圆心为M，设A为圆上任一点，N(2,0)，线段AN的垂直平分线交MA于点P，则动点P的轨迹是(　　)A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线4．椭圆＋＝1上一点M到焦点F1的距离为2，N是MF1的中点，则

23、ON

24、等于(　　)A．2B．4C．8D.5．已知F1，F2为椭圆＋＝1的两个焦点，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点在y轴上，且

25、PF1

26、＝t

27、PF2

28、，则t的值为(　　)A．3B．4C．5D．76．“－3

29、必要7．已知F1、F2是椭圆C的左、右焦点，点P在椭圆上，且满足

30、PF1

31、＝2

32、PF2

33、，∠PF1F2＝30°，则椭圆的离心率为__________．题型一　求椭圆的标准方程例1　求满足下列各条件的椭圆的标准方程：(1)长轴是短轴的3倍且经过点A(3,0)；(2)经过两点A(0,2)和B.解题导引：求椭圆方程时，常用待定系数法，但首先要判断是否为标准方程，判断的依据是：(1)中心是否在原点，(2)对称轴是否为坐标轴．　确定一个椭圆的标准方程，必须要有一个定位条件(即确定焦点的位置)和两个定形条件(即确定a，b的大小)．当焦点的位置不

34、确定时，应设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)或＋＝1(a>b>0)，或者不必考虑焦点位置，直接设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，且m≠n)．解　(1)若椭圆的焦点在x轴上，设方程为＋＝1(a>b>0)．∵椭圆过点A(3,0)，∴＝1，∴a＝3，又2a＝3·2b，∴b＝1，∴方程为＋y2＝1.若椭圆的焦点在y轴上，设方程为＋＝1(a>b>0)．∵椭圆过点A(3,0)，∴＝1，∴b＝3，又2a＝3·2b，∴a＝9，∴方程为＋＝1.综上可知椭圆的方程为＋y2＝1或＋＝1.(2)设经过两点A(0,2)，B的椭圆标准方程为

35、mx2＋ny2＝1，将A，B坐标代入方程得⇒，∴所求椭圆方程为x2＋＝1.变式训练1　(1)已知椭圆过(3,0)，离心率e＝，求椭圆的标准方程；　解　(1)当椭圆的焦点在x轴上时，∵a＝3，＝，∴c＝，从而b2＝a2－c2＝9－6＝3