2019版高考数学一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 第14讲 导数与函数的单调性精选教案 理

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1、第14讲　导数与函数的单调性考纲要求考情分析命题趋势了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)．2017·全国卷Ⅰ，212017·江苏卷，112017·浙江卷，72017·山东卷，15　　导数与函数的单调性是高考命题热点问题，题型有利用导数求函数的单调区间和已知单调性求参数的取值范围，难度较大．分值：5～8分函数的导数与单调性的关系函数y＝f(x)在某个区间内可导，则(1)若f′(x)>0，则f(x)在这个区间内__单调递增__；(2)若f′(x)<0

2、，则f(x)在这个区间内__单调递减__.1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)．(1)若函数f(x)在区间(a，b)上单调递增，那么在区间(a，b)上一定有f′(x)>0.(　×　)(2)如果函数在某个区间内恒有f′(x)＝0，则函数f(x)在此区间内没有单调性．(　√　)(3)导数为零的点不一定是极值点．(　√　)(4)三次函数在R上必有极大值和极小值．(　×　)解析　(1)错误．函数f(x)在区间(a，b)上单调递增，则f′(x)≥0，故f′(x)>0是f(x)在区间(a，b)上单调递增的充分不必要条件．(2

3、)正确．如果函数在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)为常数函数．如f(x)＝3，则f′(x)＝0，函数f(x)不存在单调性．(3)正确．导数为零的点不一定是极值点．如函数y＝x3在x＝0处导数为零，但x＝0不是函数y＝x3的极值点．(4)错误．对于三次函数y＝ax3＋bx2＋cx＋d，y′＝3ax2＋2bx＋c.当Δ＝(2b)2－12ac<0，即b2－3ac<0时，y′＝0无实数根，此时三次函数没有极值．2．函数y＝x2－lnx的单调递减区间为(　B　)A．(－1,1]　　　B．(0,1]C．[1，＋∞)　　　

4、D．(0，＋∞)解析　函数y＝x2－lnx的定义域为(0，＋∞)，y′＝x－＝，令y′≤0，则可得00)的单调递减区间是(0,4)，则m＝！！！　　###.解析　∵f′(x)＝3mx2＋6(m－1)x，f(x)的递减区间为(0,4)，则由f′(x)＝3mx2＋6(m－1

5、)x<0得00，解集在定义域内的部分为单调递增区间；(4)令f′(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间．方法二：(1)确定函数y＝f(x)的定义域；(2)求导数y′＝f′(x)，令f′(x)＝0，解此方程，求出在定义域内的

6、一切实根；(3)把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f(x)的定义域分成若干个小区间；(4)确定f′(x)在各个区间内的符号，根据符号判定函数在每个相应区间内的单调性．【例1】已知函数f(x)＝＋－lnx－，其中a∈R，且曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线y＝x.(1)求a的值；(2)求函数f(x)的单调区间．解析　(1)f′(x)＝－－，f′(1)＝－－a.由题意，得－－a＝－2，解得a＝.(2)由(1)知，f′(x)

7、＝－－＝，f(x)的定义域为(0，＋∞)．由f′(x)>0，得x2－4x－5>0(x>0)，解得x>5；由f′(x)<0，得x2－4x－5<0(x>0)，解得00)；(2)f(x)＝x3－(a＋a2)x2＋a3x＋a2.解析　(1)函数的定义域为{x

8、x≠0}．f′(x)＝′＝1－＝(x＋)(x－)．要求f(x)的单调递减区间，不妨令f′(x)<0，则(x＋)·(x－)<0，解得－<

9、x<，且x≠0，∴函数的单调减区间为(－，0)和(0，)．(2)y′＝x2－(a＋a2)x＋a3＝(x－a)(x－a2)，令y′<0，得(x－a)(x－a2)<0.①当a<0时，不等式解集为{x

10、a

11、a2