空间向量与立体几何的单元测试有问题详解

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1、实用标准文案第三章空间向量与立体几何单元测试(时间：90分钟　满分：120分)第Ⅰ卷(选择题，共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．1．以下四组向量中，互相平行的组数为(　　)①a＝(2,2,1)，b＝(3，－2，－2)；②a＝(8,4，－6)，b＝(4,2，－3)；③a＝(0，－1,1)，b＝(0,3，－3)；④a＝(－3,2,0)，b＝(4，－3,3)A．1组　　　　　　　　B．2组C．3组D．4组解析：∵②中a＝2b，∴a∥b；③中a＝－b，∴a∥b；而①④中的向量不平行．答案：B2．在以下命题中，不正确的个数为(　　)①

2、a

3、－

4、

5、b

6、＝

7、a＋b

8、是a，b共线的充要条件；②若a∥b，则存在唯一的实数λ，使a＝λb；③对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若＝2－2－，则P，A，B，C四点共面；④若{a，b，c}为空间的一组基底，则{a＋b，b＋c，c＋a}构成空间的另一组基底；⑤

9、(a·b)·c

10、＝

11、a

12、·

13、b

14、·

15、c

16、.A．2个B．3个C．4个D．5个解析：①

17、a

18、－

19、b

20、＝

21、a＋b

22、⇒a与b共线，但a与b共线时

23、a

24、－

25、b

26、＝

27、a＋b

28、不一定成立，故不正确；②b需为非零向量，故不正确；③因为2－2－1≠1，由共面向量定理知，不正确；④由基底的定义知正确；⑤由向量的数量积的性质知，不

29、正确．精彩文档实用标准文案答案：C3．如图，已知四边形ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，连接AC，BD，PB，PC，PD，则下列各组向量中，数量积不一定为零的是(　　)A.与B.与C.与D.与解析：建立如图所示的空间直角坐标系．设矩形ABCD的长、宽分别为a，b，PA长为c，则A(0,0,0)，B(b,0,0)，D(0，a,0)，C(b，a,0)，P(0,0，c)．则＝(b，a，－c)，＝(－b，a,0)，＝(0，－a，0)，＝(b,0，－c)，＝(0，a，－c)，＝(b,0,0)，＝(0,0，－c)，＝(－b,0,0)．精彩文档实用标准文案∴·＝－b2＋a2

30、不一定为0.·＝0，·＝0，·＝0.答案：A4．已知向量e1、e2、e3是两两垂直的单位向量，且a＝3e1＋2e2－e3，b＝e1＋2e3，则(6a)·等于(　　)A．15B．3C．－3D．5解析：(6a)·＝3a·b＝3(3e1＋2e2－e3)·(e1＋2e3)＝9

31、e1

32、2－6

33、e3

34、2＝3.答案：B5．如图，AB＝AC＝BD＝1，AB⊂面α，AC⊥面α，BD⊥AB，BD与面α成30°角，则C、D间的距离为(　　)A．1B．2C.D.解析：

35、

36、2＝

37、＋＋

38、2＝

39、

40、2＋

41、

42、2＋

43、

44、2＋2·＋2·＋2·＝1＋1＋1＋0＋0＋2×1×1×cos120°＝2.∴

45、

46、

47、＝.精彩文档实用标准文案答案：C6．已知空间三点O(0,0,0)，A(－1,1,0)，B(0,1,1)在直线OA上有一点H满足BH⊥OA，则点H的坐标为(　　)A．(－2,2,0)B．(2，－2,0)C.D.解析：由＝(－1,1,0)，且点H在直线OA上，可设H(－λ，λ，0)，则＝(－λ，λ－1，－1)．又BH⊥OA，∴·＝0，即(－λ，λ－1，－1)·(－1,1,0)＝0，即λ＋λ－1＝0，解得λ＝，∴H.答案：C7．已知a＝(cosα，1，sinα)，b＝(sinα，1，cosα)，则向量a＋b与a－b的夹角是(　　)A．90°B．60°C．30°D．0°

48、解析：(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝(cos2α＋sin2α＋1)－(sin2α＋1＋cos2α)＝0，∴(a＋b)⊥(a－b)．答案：A8．已知E、F分别是棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1的棱BC、CC1的中点，则截面AEFD1与底面ABCD所成二面角的正弦值是(　　)精彩文档实用标准文案A.B.C.D.解析：以D为坐标原点，以DA、DC、DD1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图．则A(1,0,0)，E，F，D1(0,0,1)，l所以＝(－1,0,1)，＝.设平面AEFD1的法向量为n＝(x，y，z)，则⇒∴x＝2y＝z.取y＝1，则

49、n＝(2,1,2)，而平面ABCD的一个法向量为u＝(0,0,1)，∵cos〈n，u〉＝，∴sin〈n，u〉＝.答案：C9．在三棱锥PABC中，△ABC为等边三角形，PA⊥平面ABC，且PA＝AB，则二面角APBC的平面角的正切值为(　　)精彩文档实用标准文案A.B.C.D.解析：设PA＝AB＝2，建立如图所示的空间直角坐标系．则B(0,2,0)，C(，1,0)，P(0,0,2)，∴＝(0，－2,2)，＝(，－1,0)．设n＝(x，y，z)是平面PBC的一个法向量．则即令y＝1，则x＝，z＝1.即n＝.易知m＝(1,0,0)是平面PAB的一个法向量．精彩文档实用

50、标准文案则cos〈m，n