《泰勒公式》word版

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1、第三节泰勒公式教学目的：使学生了解泰勒公式，并会求简单函数的泰勒展开式。教学重点：函数的泰勒展开式教学过程：多项式是函数中最简单的一种，用多项式近似表达函数是近似计算中的一个重要内容，在§2、8中，我们已见过：等近似计算公式，就是多项式表示函数的一个特殊情形，下面我们将推广到一个更广泛的、更高精度的近似公式。设在的某一开区间内具有直到阶导数，试求一个多项式……(1)来近似表达，并且和在点有相同的函数值和直到阶导数的各阶导数，即：。下面确定的系数，通过求导，不难得到……(2)这个即为所求。Taylor中值定理

2、：如果函数在的某区间内具有直到阶的导数，则当时，可表示为的一个多项式和一个余项之和：……(3)其中（介于与之间）证明：令，下证在与之间，使得：由于有直到阶导数，为多项式，故在内有直到阶导数，并且。现对函数和在以和为端点的区间上应用Cauchy中值定理，（在与之间）（介于与之间）如此继续下去，经过次后，一个介于与之间，使得，显然介于与之间。一般地，记号又因为而为次多项式，故当或（介于与之间）。注1：（3）式称为按的幂展开到阶的Taylor公式，的表达式（4）称为Lagrange型余项；2：当时（3）变为：（介

3、于与之间），这就是Lagrange公式；3：从（3）式可看出：用（2）式的多项式来近似表达，所产生的误差为，再由（4）式，不难看出：若在上，有，则有：，此时，即4：若特别地，取，这时（3）式变为：……（5）这里（介于与之间），我们称（5）为的Maclourin公式。【例1】求的Maclourin公式。解：，又所以，令代入（5）式得：。【例2】求的Maclaurin公式。解，当1，5，9，13，……时，当2，6，10，14，……时，按（15）式，得：其中：。注：。同理有：，其中：。【例3】求的Maclouri

4、n公式。解：其中：，（）【例4】求的Maclourin公式。解：。