高等数学第9章课后习题答案(科学出版社

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1、习题9.1解答1.设是圆环域：，证明证　在上，的最小值，最大值．而的面积．由性质５得2.利用二重积分定义证明：(1)；；(2)其中，、为两个无公共内点的闭区域.证　(1)　由于被积函数，故由二重积分定义得　　(2)因为函数在闭区域上可积，故不论把怎样分割，积分和的极限总是不变的，因此在分割时，可以使和的公共边界永远是一条分割线。这样在上的积分和就等于上的积分和加上的积分和，记为令所有的直径的最大值，上式两端同时取极限，即得3.根据二重积分的性质，比较下列积分的大小：(1)与，其中积分区域是由轴、轴与直线所围成；(2)与，

2、其中积分区域是由圆周所围成；(3)与，其中是矩形闭区域.(4)与，其中三角形闭区域，三顶点分别为.48解　(1)　在积分区域上，，故有，根据二重积分的性质４，可得（2）由于积分区域位于半平面内，故在上有，．从而(3)由于积分区域位于条形区域内，故知上的点满足，从而有．因此(4)由于积分区域位于半平面内，故在上有，从而有．因此4.利用二重积分的性质估计下列积分的值：(1)其中；(2)其中；(3)其中；(4)其中.解　(1)在积分区域上，，，从而，又的面积等于2，因此(2)在积分区域上，，，从而，又的面积等于，因此(3)在积

3、分区域上，，的面积等于，因此(4)在积分区域上，，从而，又的面积等于，因此485.设其中；又其中．试利用二重积分的几何意义说明与之间的关系．解　由二重积分的几何意义知，表示底为、顶为曲面的曲顶柱体的体积；表示底为、顶为曲面的曲顶柱体的体积．由于位于上方的曲面关于面和面均对称，故面和面将分成四个等积的部分，其中位于第一卦限的部分即为．由此可知．习题9.2解答1.计算下列二重积分：(1)，其中是正方形区域:.(2)，其中是由两坐标轴及直线所围成的闭区域；(3)，其中；(4)其中是顶点分别为，和的三角形闭区域．（5），其中D是

4、有所围成的闭区域.解(1)(2)可用不等式表示为，于是(3)因是正方形区域，所以图9.2-2(5)48(4)解可用不等式表示为，于是(5)解=(6)，其中；图9.2-1(3)解2.化二重积分为二次积分（分别列出对两个变量先后次序不同的两个二次积分），其中积分区域是：（1）是由直线，及所围成的闭区域．（2）由轴及半圆周所围成的闭区域；（3）由双曲线和直线，，所围成的闭区域；解（1）画出积分区域D如图9.2-2（4），可用不等式表示为，于是，或.(2)　将用不等式表示为，于是可将化为48；如将用不等式表示为，于是可将化为图9

5、.2-3（3）（3）作出由双曲线和直线，，所围成的闭区域D的图形（如图9.2-3（3））；或（4）环形闭区域．解　将划分为４块，得或3.画出积分区域，并计算下列二重积分：(1)，其中是由两条抛物线，所围成的闭区域；(2)，其中是由圆周及轴所围成的右半闭区域；(3)，其中；4)，其中是由直线，及所围成的闭区域．（5），其中是由直线，和所围成的闭区域．(6)，其中是由直线，和所围成的闭区域．（7），其中是由直线，和所围成的闭区域．（8）计算，其中是由抛物线及直线所围成的闭区域．解　(1)画出积分区域D如图9.2-2（1），可

6、用不等式表示为，于是48图9.2-2(1)．（2）画出积分区域D如图9.2-2（2），可用不等式表示为图9.2-2(2)，于是(3)，其中，，于是图9.2-2(4)(4)画出积分区域D如图9.2-2（4），可用不等式表示为，于是48图9.2-2(5)（5），其中是由直线，和所围成的闭区域．解　首先画出积分区域D（如图9.2-2(5)），若把看成型区域，D上的点的横坐标的变动范围是区间.在区间上任意取定一个值，则D上以这个值为横坐标的点在一线段上，且该线段平行于Y轴，该线段上的点的纵坐标从变到，利用公式（1）得.(6)　，

7、其中是由直线，和所围成的闭区域．　　解　画出积分区域（图9.2-2(6)），若把看成型，则利用公式（1）得若把看成型（如图9.22(7)），则利用公式（２）得其中关于的积分计算比较麻烦，所以这里用公式（1）计算较为方便.（7），其中是由直线，和所围成的闭区域．解　首先画出积分区域D（如图9.2-2(6)）看成型区域，D上的点的横坐标的变动范围是区间.在区间上任意取定一个值，则D上以这个值为横坐标的点在一线段上，且该线段平行于Y轴，该线段上的点的纵坐标从变到，利用公式（1）得48图9.2-2(6)图9.2-2(7)（8）图

8、9-13计算，其中是由抛物线及直线所围成的闭区域．解画出积分区域（如图913），若把看成型区域，则利用公式（２）得.4.改换下列二次积分的积分次序：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)．（6）(7)　.解　(1)　所给二次积分等于二重积分，其中，可改写为，于是原式=.(2)　所给二次积分等于二重积分，其中，可改写为