《平面图形的面积》word版

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1、第十章定积分的应用§1平面图形的面积(一)教学目的：掌握平面图形面积的计算公式．(二)教学内容：平面图形面积的计算公式．基本要求：(1)掌握平面图形面积的计算公式，包括参量方程及极坐标方程所定义的平面图形面积的计算公式．(2)较高要求：提出微元法的要领．(三)教学建议：(1)本节的重点是平面图形面积的计算公式，要求学生必须熟记并在应用中熟练掌握．(2)领会微元法的要领．——————————————————————————直角坐标系下平面图形的面积：由定积分的几何意义，连续曲线与直b线轴所围成的曲边梯形的面积为若在上不都是非负的，则所围成的面积为一般的，有两条连续曲线及直线所围成的平面图形

2、的面积为1．简单图形：型和型平面图形.2．简单图形的面积:给出型和型平面图形的面积公式.对由曲线和围成的所谓“两线型”图形,介绍面积计算步骤.注意利用图形的几何特征简化计算.(参阅[4]P232—240E86—93)例1求抛物线与直线所围的平面图形的面积.所给的区域不是一个规范的x-区域,如图需将其切成两块,即可化成x-形区域的面积问题第一块的面积等于int('2*sqrt(x)','x',0,1)ans=4/3第二块的面积等于int('sqrt(x)-(x-3)/2','x',1,9)ans=28/328/3+4/3ans=10.6667总面积我们也可以把图形看成y-形区域计算其面积i

3、nt('-y^2+2*y+3','y',-1,3)ans=32/3例2求由曲线围成的平面图形的面积.例3求由抛物线与直线所围平面图形的面积.1．参数方程下曲边梯形的面积公式：设区间上的曲边梯形的曲边由方程.由参量方程表示且在上连续，，（对于或的情况类似讨论）。计算中，主要的困难是上下限的确定。上下限的确定通常有两种方法：1）具体计算时常利用图形的几何特征.2）从参数方程定义域的分析确定例2求摆线的一拱与x轴所围的平面图形的面积由图看出,对应原点(0,0),对应一拱的终点所以其面积为int('a^2*(1-cos(t))^2',0,2*pi)ans=3*pi*a^2例2求由曲线所围图形的面

4、积.(cd3)由图看出,积分的上下限应为t从–1到1,其面积为:极坐标下平面图形的面积:若曲线是极坐标方程和参数方程一样，极坐标情况面积的计算主要困难是积分上下限的确定。确定上下限方法通常也是1）利用图象；2）分析定义域例3求双扭线围成的平面图形的面积解先看一下双纽线的图象，t=0:pi/50:2*pi;r=sqrt(cos(2*t));r1=real(r);polar(t,r1,'r')它由两支，因，所以双扭线所围成的平面图形的面积为int('a^2*cos(2*x)',-pi/4,pi/4)ans=a^2例1求曲线与所围部分的面积例2．三叶形曲线所围成的平面图形的面积解先用Matla

5、b画出三叶形曲线的图形t=0:pi/50:2*pi;r=sin(3*t);r1=real(r);polar(t,r1,'r')计算所围成的面积int('1.5*sin(3*t)',0,pi/3)ans=1.