高中数学 第一章 集合 1.1 集合与集合的表示方法 1.1.2 集合的表示方法课堂探究 新人教b版必修1

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1、1.1.2集合的表示方法课堂探究探究一用列举法表示集合1．用列举法表示集合时，一般不必考虑元素间的前后顺序，如{a，b}与{b，a}表示同一个集合．2．元素与元素之间必须用“，”隔开．3．集合中的元素不能重复．4．列举法也可以表示无限集．【典型例题1】用列举法表示下列集合：(1)36与60的公约数构成的集合；(2)方程(x－4)2(x－2)＝0的根构成的集合；(3)一次函数y＝x－1与y＝－x＋的图象的交点构成的集合．思路分析：(1)要明确公约数的含义；(2)注意4是重根；(3)要写成点集形式．解：(1)36与60的公约数有1,2,3,4,6,12，所求集合可表示为{1,2,3,4,6,

2、12}；(2)方程(x－4)2(x－2)＝0的根是4,2，所求集合可表示为{2,4}；(3)方程y＝x－1与y＝－x＋可分别化为x－y＝1与2x＋3y＝4，则方程组的解是所求集合可表示为.探究二用描述法表示集合1．使用描述法表示集合时要注意以下几点：(1)写清元素符号；(2)说明该集合中元素的性质；(3)不能出现未被说明的字母；(4)多层描述时，应当准确使用“且”“或”；(5)所有描述的内容都要写在集合符号内；(6)用于描述的语句力求简明、准确．2．集合A＝{x

3、y＝x2＋1}，B＝{y

4、y＝x2＋1}与C＝{(x，y)

5、y＝x2＋1}不是相同的集合．这是因为集合A的代表元素是x，且x∈

6、R；集合B的代表元素是y，且y≥1；集合C的代表元素是(x，y)，且(x，y)表示平面直角坐标系内抛物线y＝x2＋1上的点，所以它们是互不相同的集合．3．{三角形}实际上是{x

7、x是三角形}的简写，千万别理解成是由三个汉字组成的集合，三角形构成的集合不要写成{所有三角形}，因为{　}本身就有“所有”的含义．【典型例题2】用描述法表示下列集合：(1)小于10的所有非负整数构成的集合；(2)数轴上与原点的距离大于3的点构成的集合；(3)平面直角坐标系中第二、四象限内的点构成的集合；(4)方程组的解构成的集合；(5)集合{1,3,5,7，…}．思路分析：(1)“0≤x<10，x∈Z”可作为集合

8、的一个特征性质；(2)要利用数轴上的距离公式来表示，即

9、x

10、>3；(3)，(4)注意代表元素为点的坐标；(5)“x＝2k－1，k∈N＋”可作为集合的一个特征性质．解：(1)小于10的所有非负整数构成的集合，用描述法可表示为{x

11、0≤x<10，x∈Z}；(2)数轴上与原点的距离大于3的点构成的集合，用描述法可表示为{x

12、

13、x

14、>3}；(3)平面直角坐标系中第二、四象限内的点构成的集合，用描述法可表示为{(x，y)

15、xy<0}；(4)方程组的解构成的集合，用描述法表示为或；(5){1,3,5,7，…}用描述法可表示为{x

16、x＝2k－1，k∈N＋}．反思用描述法表示集合之前，应先通过代表元素确

17、定集合是“点集”还是“数集”．另外，二元一次方程组的解，因为含有两个未知数，所以在表示时，可看成“点集”的形式进行描述．探究三含参数问题1．对于集合的表示方法中的含参数问题一定要注意弄清集合的含义，也要清楚参数在集合中的地位．2．含参数问题常用分类讨论思想来解决，在讨论参数时要做到不重不漏．【典型例题3】已知集合M＝{x

18、(x－a)(x2－ax＋a－1)＝0}中各元素之和等于3，求实数a的值，并用列举法表示集合M.解：根据集合中元素的互异性知，当方程(x－a)(x2－ax＋a－1)＝0有重根时，重根只能算作集合的一个元素，又M＝{x

19、(x－a)(x－1)[x－(a－1)]＝0}．当a＝1

20、时，M＝{1,0}，不符合题意；当a－1＝1，即a＝2时，M＝{1,2}，符合题意；当a≠1，且a≠2时，a＋1＋a－1＝3，则a＝，M＝，符合题意．综上所述，实数a的值为2或，当a＝2时，M＝{1,2}；当a＝时，M＝.探究四易错辨析易错点1　认为集合中的a具有一致性而致误【典型例题4】已知集合A＝{x

21、x＝2a，a∈Z}，B＝{x

22、x＝2a＋1，a∈Z}，C＝{x

23、x＝4a＋1，a∈Z}．若m∈A，n∈B，则有(　　)A．m＋n∈AB．m＋n∈BC．m＋n∈CD．m＋n不属于A，B，C中的任意一个错解：C错因分析：不能正确利用集合中元素的特征性质，认为三个集合中的a是一致的，从而由m

24、∈A，得m＝2a，a∈Z.由n∈B，得n＝2a＋1，a∈Z.所以得到m＋n＝4a＋1，a∈Z.进而错误判断m＋n∈C.而实际上，三个集合中的a是不一致的．应由m∈A，设m＝2a1，a1∈Z.由n∈B，设n＝2a2＋1，a2∈Z.所以得到m＋n＝2(a1＋a2)＋1，且a1＋a2∈Z，所以m＋n∈B，故正确答案为B.正解：B反思在分析集合中元素的关系时，一定要注意字母各自取值的独立性，并要注意用不同的字母来区分，否则会引起错误．易错点