高中数学 4.2.1（第1课时）直线与圆的位置关系习题 新人教a版必修2

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1、4.2.1第1课时直线与圆的位置关系一、选择题1．若直线ax＋by＝1与圆C：x2＋y2＝1相交，则点P(a，b)与圆C的位置关系是(　　)A．P在圆内B．P在圆外C．P在圆上D．不确定解析：选B　∵直线ax＋by＝1与圆x2＋y2＝1相交，∴圆心到直线的距离d＝＜1，∴a2＋b2＞1.2．过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2＋y2－4y＝0所截得的弦长为(　　)A.B．2C.D．2解析：选D　直线的方程为y＝x，圆的标准方程为x2＋(y－2)2＝4，圆心(0,2)到直线的距离d＝＝1，知所求弦长为

2、d＝2＝2，故选D.3．若过点A(4,0)的直线l与曲线(x－2)2＋y2＝1有公共点，则直线l的斜率的取值范围为(　　)A．[－，]B．(－，)C.D.解析：选C　设直线为y＝k(x－4)，即kx－y－4k＝0，圆心(2,0)到直线的距离d＝＝，d应满足d≤r，即≤1，解得k∈.4．由直线y＝x＋1上的点向圆C：x2＋y2－6x＋8＝0引切线，则切线长的最小值为(　　)A．1B．2C.D．3解析：选C　圆C的方程可变为：(x－3)2＋y2＝1，圆心C(3,0)，半径为1.直线y＝x＋1上点P(x0

3、，y0)到圆心C的距离

4、PC

5、与切线长d满足d＝＝＝＝≥.5．已知圆的方程为x2＋y2－6x－8y＝0，设该圆过点P(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为(　　)A．10B．20C．30D．40解析：选B　如下图所示，设圆的圆心为M，则M(3,4)，半径r＝5.当过点P的直线过圆心M时，对应的弦AC是最长的，此时，

6、AC

7、＝2r＝10；当过点P的直线与MP垂直时，对应的弦BD最小，此时在Rt△MPD中，

8、MD

9、＝r＝5，

10、MP

11、＝1，故

12、BD

13、＝2＝4.此时四边形ABC

14、D的面积为：S＝

15、AC

16、·

17、BD

18、＝20，故选B.二、填空题6．过点P(－1,6)且与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝4相切的直线方程是____________________．解析：当所求直线的斜率存在时，设所求直线的方程为y－6＝k(x＋1)，则d＝＝2，解得k＝，此时，直线方程为：4y－3x－27＝0；当所求直线的斜率不存在时，所求直线的方程为x＝－1，验证可知符合题意．答案：4y－3x－27＝0或x＝－17．已知圆C的圆心是直线x－y＋1＝0与x轴的交点，且圆C与直线x＋y＋3＝0相切，则圆C

19、的方程为____________________．解析：令y＝0得x＝－1，所以直线x－y＋1＝0与x轴的交点为(－1,0)．因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即r＝＝，所以圆C的方程为(x＋1)2＋y2＝2.答案：(x＋1)2＋y2＝28．已知圆C过点(1,0)，且圆心在x轴的正半轴上．直线l：y＝x－1被圆C所截得的弦长为2，则过圆心且与直线l垂直的直线的方程为____________．解析：由题意，设所求的直线方程为x＋y＋m＝0，设圆心坐标为(a,0)，则由题意知2＋2＝(a－

20、1)2，解得a＝3，或a＝－1，又因为圆心在x轴的正半轴上，所以a＝3，故圆心坐标为(3,0)，因为圆心(3,0)在所求的直线上，所以有3＋0＋m＝0，即m＝－3，故所求的直线方程为x＋y－3＝0.答案：x＋y－3＝0三、解答题9．已知圆C和y轴相切，圆心C在直线x－3y＝0上，且被直线y＝x截得的弦长为2，求圆C的方程．解：设圆心坐标为(3m，m)．∵圆C和y轴相切，得圆的半径为3

21、m

22、，∴圆心到直线y＝x的距离为＝

23、m

24、.由半径、弦心距、半弦长的关系得9m2＝7＋2m2，∴m＝±1，∴所求圆C的

25、方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9.10．已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝2，过点P(2，－1)作圆C的切线，切点为A，B.(1)求直线PA，PB的方程；(2)过P点的圆C的切线长．解：(1)切线的斜率存在，设切线方程为y＋1＝k(x－2)，即kx－y－2k－1＝0.圆心到直线的距离等于，即＝，∴k2－6k－7＝0，解得k＝7或k＝－1，故所求的切线方程为y＋1＝7(x－2)或y＋1＝－(x－2)，即7x－y－15＝0或x＋y－1＝0.(2)在Rt△PAC中，

26、PA2＝PC2－AC2＝(2－1)2＋(－1－2)2－2＝8，∴过P点的圆C的切线长为2.