泰勒公式的物理意义

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1、泰勒公式■下面的图形在0点附近多么相似：■泰勒公式的由来：下面对教科书中为什么不使用n次罗比达法则进行说明：令rx=f0a0+f'0a1+f''0a2+…+fn0an-f(x)其中an=xnn!求时使用罗比达法则，分子分母求n次导得limx→0r(x)xn=limx→0fn0-fn(x)n!问题是f(x)在0点处是不是n阶可导并连续。如果连续那么上式的极限存在并为0，如果不连续那么不可以用这种方法求出这个极限。教科书上都利用到n-1次罗比达法则，最后利用n次可导。■物理意义：可以想象函数f(t)表达了物体的位移(从

2、青岛开往北京的火车?)假设知道了初始位移s0初始速度v初始加速度a那么多项式pt=s0+vt+at22!p(t)与f(t)至少在初始位置，位移、速度、加速度都一样，未来呢？火车f(t)驶过家门，只捕捉到了它的一瞬间，之后只能猜测它是以p(t)运行了■拉格朗日余项有了上面的物理意义，我们就可以这样分析泰勒公式在t0时刻采样f(t)的位移、速度、加速度……我们用p(t)用同样的位移、速度、加速度来复现f(t)的运动直到t1时刻。那么p(t1)与f(t1)相比，位移相差多少？在不同的采样点t0采样，并估算出t1时刻的位移

3、，将于实际的位移f(t1)存在偏差，设为r(t0)。可以想象t0离t1时刻越近就越准确。r(t0)对t0求变化率，就能得到采样点不同对结果有什么影响：dr(ε)dt0=-fn+1εn!(t1-t0)n其中ε∈(t0,t1)当采样点变动时，由于f(n)(t0)都被采样了，将不对偏差有任何影响，而是更高形式的运动f(n+1)(t0)造成的影响。详细的推导可以参考数学分析的教材！■各种运动形式的曲线单位速度f(t)=t单位加速度ft=t22!……见下图图中可以发现，越高级的运动形式在短时间不会有很大的作用，不过时间长了影

4、响会非常剧烈。■拉格朗日余项的物理解释这里先把公式清楚的写出来:ft=ft0+f't0t-t0+……+fnt0n!(t-t0)n+fn+1ε(n+1)!(t-t0)n左侧f(t)是本来的运动右侧ft0+f't0t-t0+……+fnt0n!(t-t0)n是估计的运动二者在t时刻的位移相差fn+1εn+1!(t-t0)n+1，这是我们忽略的更高层次的运动形式例如：f(t)=1+tp(t)=1位移偏差的原因是由速度引起的，因为p(t)没有考虑速度的因素ft=1+t+t22!p(t)=1+t位移产生的偏差是由加速度引起的，

5、因为p(t)并没有考虑加速度■更进一步如果采样点变多，逼近多项式p(t)将使用拉格拉日差值多项式，泰勒公式只能在局部使用，因为高阶的运动很快将发挥作用，极大地影响了位移的估计结果。