2019版高考数学一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 课时达标16 导数与函数的综合问题 理

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1、课时达标 第16讲[解密考纲]本考点主要以基本初等函数为载体,综合应用函数、导数、方程、不等式等知识,常考查恒成立问题、存在性问题或者与实际问题相结合讨论最优解等问题,综合性较强,常作为压轴题出现.三种题型均有出现,以解答题为主,难度较大.1.已知函数f(x)=x2-ax-alnx(a∈R).(1)若函数f(x)在x=1处取得极值,求a的值;(2)在(1)的条件下,求证:f(x)≥-+-4x+.解析 (1)f′(x)=2x-a-,由题意可得f′(1)=0,解得a=1.经检验,a=1时f(x)在x=1处取得极小值,所以a=1.(2)

2、由(1)知,f(x)=x2-x-lnx,令g(x)=f(x)-=-+3x-lnx-,由g′(x)=x2-3x+3-=-3(x-1)=(x>0),可知g(x)在(0,1)上是减函数,在(1,+∞)上是增函数,∴g(x)min=g(1)=-+3-=0,∴当x>0时,g(x)≥g(1)=0,于是f(x)≥-+-4x+.2.若函数f(x)=ax3-bx+4,当x=2时,函数f(x)有极值-.(1)求函数f(x)的解析式;(2)若方程f(x)=k有3个不同的根,求实数k的取值范围.解析 (1)f′(x)=3ax2-b,由题意得解得故所求函数

3、的解析式为f(x)=x3-4x+4.(2)由(1)得f′(x)=x2-4=(x+2)(x-2),令f′(x)=0,得x=2或x=-2.当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表.x(-∞,-2)-2(-2,2)2(2,+∞)f′(x)+0-0+f(x)单调递增单调递减-单调递增因此,当x=-2时,f(x)有极大值,当x=2时,f(x)有极小值-,所以函数f(x)=x3-4x+4的图象大致如图所示.因为f(x)=k有3个不同的根,所以直线y=k与函数f(x)的图象有3个交点,所以-

4、f(x)=x-(a+1)lnx-(a∈R),g(x)=x2+ex-xex.(1)当x∈[1,e]时,求f(x)的最小值;(2)当a<1时,若存在x1∈[e,e2],使得对任意的x2∈[-2,0],f(x1)

5、n=f(a)=a-(a+1)lna-1.③当a≥e时,x∈[1,e]时,f′(x)≤0,f(x)在[1,e]上为减函数,则f(x)min=f(e)=e-(a+1)-.综上,当a≤1时,f(x)min=1-a;当1

6、]时,g′(x)≤0,则g(x)为减函数.所以g(x)min=g(0)=1.所以e-(a+1)-<1,即a>.所以a的取值范围为.4.某商店经销一种奥运纪念品,每件产品成本为30元,且每卖出一件产品,需向税务部门上交a元(a为常数,2≤a≤5)的税收,设每件产品的日售价为x元(35≤x≤41),根据市场调查,日销售量与ex(e为自然对数的底数)成反比,已知每件产品的日售价为40元时,日销售量为10件.(1)求商店的日利润L(x)元与每件产品的日售价x元的函数关系式;(2)当每件产品的日售价为多少元时该商店的日利润L(x)最大,说明

7、理由.解析 (1)设日销售量为件,则=10,∴k=10e40.则日销售量为件,每件利润为(x-30-a)元,则日利润L(x)=10e40·(35≤x≤41).(2)L′(x)=10e40·(35≤x≤41).①当2≤a≤4时,33≤31+a≤35,L′(x)≤0,L(x)在[35,41]上是减函数.∴当x=35时,L(x)的最大值为10(5-a)e5.②当4

8、,L′(x)<0,L(x)在(a+31,41]上是减函数.∴当x=a+31时,L(x)的最大值为10e9-a.综上可知,当2≤a≤4时,日售价为35元可使日利润L(x)最大,当4

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