2019版高考数学一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 课时达标16 导数与函数的综合问题 理

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1、课时达标　第16讲[解密考纲]本考点主要以基本初等函数为载体，综合应用函数、导数、方程、不等式等知识，常考查恒成立问题、存在性问题或者与实际问题相结合讨论最优解等问题，综合性较强，常作为压轴题出现．三种题型均有出现，以解答题为主，难度较大．1．已知函数f(x)＝x2－ax－alnx(a∈R)．(1)若函数f(x)在x＝1处取得极值，求a的值；(2)在(1)的条件下，求证：f(x)≥－＋－4x＋.解析　(1)f′(x)＝2x－a－，由题意可得f′(1)＝0，解得a＝1．经检验，a＝1时f(x)在x＝1处取得极小值，所以a＝1．(2)

2、由(1)知，f(x)＝x2－x－lnx，令g(x)＝f(x)－＝－＋3x－lnx－，由g′(x)＝x2－3x＋3－＝－3(x－1)＝(x>0)，可知g(x)在(0,1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数，∴g(x)min＝g(1)＝－＋3－＝0，∴当x>0时，g(x)≥g(1)＝0，于是f(x)≥－＋－4x＋.2．若函数f(x)＝ax3－bx＋4，当x＝2时，函数f(x)有极值－.(1)求函数f(x)的解析式；(2)若方程f(x)＝k有3个不同的根，求实数k的取值范围．解析　(1)f′(x)＝3ax2－b，由题意得解得故所求函数

3、的解析式为f(x)＝x3－4x＋4.(2)由(1)得f′(x)＝x2－4＝(x＋2)(x－2)，令f′(x)＝0，得x＝2或x＝－2.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表.x(－∞，－2)－2(－2,2)2(2，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)单调递增单调递减－单调递增因此，当x＝－2时，f(x)有极大值，当x＝2时，f(x)有极小值－，所以函数f(x)＝x3－4x＋4的图象大致如图所示．因为f(x)＝k有3个不同的根，所以直线y＝k与函数f(x)的图象有3个交点，所以－

4、f(x)＝x－(a＋1)lnx－(a∈R)，g(x)＝x2＋ex－xex.(1)当x∈[1，e]时，求f(x)的最小值；(2)当a<1时，若存在x1∈[e，e2]，使得对任意的x2∈[－2,0]，f(x1)

5、n＝f(a)＝a－(a＋1)lna－1．③当a≥e时，x∈[1，e]时，f′(x)≤0，f(x)在[1，e]上为减函数，则f(x)min＝f(e)＝e－(a＋1)－.综上，当a≤1时，f(x)min＝1－a；当1

6、]时，g′(x)≤0，则g(x)为减函数．所以g(x)min＝g(0)＝1．所以e－(a＋1)－<1，即a>.所以a的取值范围为.4．某商店经销一种奥运纪念品，每件产品成本为30元，且每卖出一件产品，需向税务部门上交a元(a为常数，2≤a≤5)的税收，设每件产品的日售价为x元(35≤x≤41)，根据市场调查，日销售量与ex(e为自然对数的底数)成反比，已知每件产品的日售价为40元时，日销售量为10件．(1)求商店的日利润L(x)元与每件产品的日售价x元的函数关系式；(2)当每件产品的日售价为多少元时该商店的日利润L(x)最大，说明

7、理由．解析　(1)设日销售量为件，则＝10，∴k＝10e40.则日销售量为件，每件利润为(x－30－a)元，则日利润L(x)＝10e40·(35≤x≤41)．(2)L′(x)＝10e40·(35≤x≤41)．①当2≤a≤4时，33≤31＋a≤35，L′(x)≤0，L(x)在[35,41]上是减函数．∴当x＝35时，L(x)的最大值为10(5－a)e5.②当4

8、，L′(x)<0，L(x)在(a＋31,41]上是减函数．∴当x＝a＋31时，L(x)的最大值为10e9－a.综上可知，当2≤a≤4时，日售价为35元可使日利润L(x)最大，当4