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1、极限和连续知识点睛一、主要知识点1、要理解和熟记六类基本初等函数的常用极限，具体如下：2、要正确使用以下极限的四则运算法则：则：3、无穷小量1)定义：称以零为极限的变量为无穷小量。2)运算性质：无穷小量与有界变量的乘积仍是无穷小量。3)阶的比较：【注】八个常用的等价的无穷小量：67页4)无穷小的等价代换4、无穷大量1)定义：称绝对值无限增大的变量为无穷大量。2)无穷大量与无穷小量的关系―――互为倒数。5、两个重要极限6、函数的连续性1)设函数f(x)在点x0连续，必须满足以下三个条件：(1)f(x)在x0有定义，即f(x0)存在;2)初等函数的连续性―――由基本初等函数在其定义区间上的图
2、形都是一条连续不断的曲线，可知基本初等函数在其定义区间上必连续。因而由基本初等函数经过加、减、乘、除运算构成的简单初等函数在其定义区间上必连续，因而由基本函数或简单的初等函数经过乘方、开方、指数、对数、三角、反三角运算构成的复合函数在其定义区间上必连续。因而这一切初等函数在其定义区间上必连续。二、典型例题和解题思路1、数列的极限（1）有理式求极限（只看最高次项）典型例题：.（2）恒等变形67页①分子有理化典型例题：②拆项三、函数的极限1、多项式求极限（直接代入）典型例题：2、有理式求极限①趋向定点时有理式求极限（先代入分母，再代入分子）②趋向无穷时有理式求极限（只看最高次项）67页③分子
3、、分母有理化3、无穷小的性质及无穷小的比较（1）无穷小的性质（2）无穷小的比较典型例题：为等价无穷小。（3）无穷小的等价代换4、两个重要极限（1）、第一个重要极限:【注】如果是第一个重要极限的小题（选择或填空题），第一个重要极限的问题用等价代换更为简便。67页四、函数连续性典型例题：函数处是否连续？典型例题：解因为连续，所以处有极限并且都等于函数值(左右连续)：67页【注】如果是连续的填空题、选择题，可把分段点直接代入两个表达式，他们的值相等就可以得到待求的常数。微分知识点睛(导数与微分)知识结构：求导法则基本公式导数微分关系高阶导数必备基础知识★导数的定义（增量比值的极限）（也可记为,
4、或.）★可导性与连续性的关系可导连续有极限注：函数在某点处连续是函数在该点处可导的必要条件，但不是充分条件.★导数的几何意义函数在点x0处的导数在几何上表示曲线在点M(x0,f(x0))处的切线的斜率.切线方程为：法线方程为：67页★导数公式（必须牢记）(1)(C)¢=0,(2)(xm)¢=mxm-1,(3)(sinx)¢=cosx,(4)(cosx)¢=-sinx,(5)(tanx)¢=sec2x,(6)(cotx)¢=-csc2x,(7)(secx)¢=secx×tanx,(8)(cscx)¢=-cscx×cotx,(9)(ax)¢=axlna,（10）(ex)¢=ex,(11),(
5、12),(13),(14).(15),(16).★函数的和、差、积、商的求导法则★复合函数的求导法则（从外到里层层求导，外面求导，里面不变）定理3若函数在点x处可导,而在点处可导,则复合函数在点x处可导,且其导数为或★隐函数的导数（牢记是的函数）如方程F(x，y)=0确定了y=y(x)，只需方程两边对x求导，注意y=y(x)。步骤：（1）方程两边同时对x求导（注意是的函数）（2）解出★对数求导法：先在函数两边取对数，然后在等式两边同时对自变量求导，最后解出所求导数.★高阶导数（从低阶到高阶逐阶求导）67页y¢¢=(y¢)¢,f¢¢(x)=[f¢(x)]¢,.★微分1)微分的定义定义设函数
6、在某区间内有定义,及在这区间内,如果函数的增量可表示为：其中A是与无关的常数,则称函数在点可微,并且称为函数在点处相应于自变量改变量的微分,记作,即2)函数可微的条件定理:函数在点可微的充要条件是：在点处可导,且即。主要考察知识点和典型例题：考点一：导数的概念典型例题：设存在,求极限解：【注】这种题目一般只出填空或选择，我们可以按以下方法解题：这种题目的结果均为：，其中等于分子中的个数除以分母中的个数。考点二：导数的几何意义切线方程为：法线方程为：67页典型例题：求曲线在点处的切线方程.解因为故所求切线方程为即典型例题：已知在处的切线平行于直线，则=_______。解先求在处的切线的斜率
7、：，所以。由于切线平行于直线，而已知平行直线的斜率，所以斜率相等，即：，。考点三：函数和、差、积、商的求导法则的和、差、商(除分母为0的点外)都在点x可导,典型例题：,求f¢(x)及.解:,.考点四：复合函数的求导法则（从外到里层层求导，外面求导，里面不变）——重点【注】复合函数求导首先要弄清楚它是由哪些基本初等函数复合而成的，即弄清楚复合函数的每一层。典型例题：求的导数.解：是由、两个初等函数复合而成的，也就是有两层：第一层是正弦
