[数学]用matlab学习线性代数_线性方程组与矩阵代数

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1、用Matlab学习线性代数线性方程组与矩阵代数实验目的：熟悉线性方程组的解法和矩阵的基本运算及性质验证。Matlab命令：本练习中用到的Matlab命令有：inv，floor，rand，tic，toc，rref，abs，max，round，sum，eye，triu，ones，zeros。本练习引入的运算有：+，-，*，’，，。其中+和-表示通常标量及矩阵的加法和减法运算；*表示标量或矩阵的乘法；对所有元素为实数的矩阵，’运算对应于转置运算。若为一个非奇异矩阵(det!=0)且为一个矩阵，则运算等价于。实验内容

2、：1．用Matlab随机生成的矩阵和。求下列指定的，并确定那些矩阵是相等的。你可以利用Matlab计算两个矩阵的差来测试两个矩阵是否相等。（1）C=A*B,D=B*A,G=(A’*B’)’,H=(B’*A’)’C=H;D=G；（2）C=A’*B’,D=(A*B)’,G=B’*A’,H=(B*A)’C=H;D=G；（3）C=inv(A*B),D=inv(A)*inv(B),G=inv(B*A),H=inv(B)*inv(A)（4）C=inv((A*B)’),D=inv(A’*B’),G=inv(A’)*inv(B

3、’),H=(inv(A)*inv(B))’（3）（4）中无相等的2．令n=200，并使用命令A=floor(10*rand(n));b=sum(A’)’z=ones(n,1);注释：（n行一列全为1的矩阵）生成一个矩阵和两个中的向量，它们的元素均为整数。（因为矩阵和向量都很大，我们添加分号来控制输出。（1）方程组的真解应为。为什么？【A中的每一行的元素之和正好等于对应b的每一列，故z为其一解，又det不等于0，RA=RAb=n，故z为其解】试说明，可在Matlab中利用””运算或计算，然后用计算来求解。比较这

4、两种计算方法的速度和精度。我们将使用Matlab命令tic和toc来测量每一个计算过程消耗的时间。只需要用下面的命令：tic,x=Ab；toctic,y=inv(A)*b;toc哪一种方法更快？tic,x=Ab；更快！为了比较这两种方法的精度，可以测量求得的解x和y与真解z接近的程度。利用下面的命令：max(abs(x-z))max(abs(y-z))哪种方法的到的解更精确？>>max(abs(x-z))=4.0168e-013更精确！>>max(abs(y-z))=6.1107e-013（2）用n=500

5、和n=1000替换（1）中的。如（1）结果一样！1．令A=floor(10*rand(6))。根据构造，矩阵A将有整数元。将矩阵A的第六列更改，使得矩阵A为奇异的。令B=A’，A(:,6)=-sum(B(1:5,:))’（1）设x=ones(6,1),并利用Matlab计算Ax。为什么我们知道A必为奇异的？【因化简列，————>列成比例】试说明。通过化为行最简形来判断A是奇异的。（2）令B=x*[1:6]，乘积AB应为零矩阵。为什么？【因A的每一行的前五个元素之和等于第六个元素的相反数，且在A上的每一行的元素同

6、乘以相同的数，则仍等于0】试说明。用Matlab的*运算计算AB进行验证。（3）令C=floor(10*rand(6))和D=B+C，尽管,但乘积AC和AD是相等的。为什么？试说明。计算A*C和A*D，并验证它们确实相等。【此处B为令B=x*[1:6]；A为A(:,6)=-sum(B(1:5,:))’】由于A*B=0；故AC=AD；A(B+C)=AB+AC;2．采用如下方式构造一个矩阵。令B=eye(10)-triu(ones(10),1)，参见最后附表二：为什么我们知道B必为非奇异的？【上三角矩阵的行列式的值

7、等于对角线上的元素相乘】令C=inv(B)且x=C(:,10)，现在用B(10,1)=-1/256将B进行微小改变。利用Matlab计算乘积Bx。由这个计算结果，你可以得出关于新矩阵B的什么结论？【化简此时B，得行最简式，RB=9<10，可以得出B的第10列（从1—9行）与x互为相反数，且都是2的指数幂数，且第十行为0，】它是否为奇异的？【是】试说明。用Matlab计算它的行最简形。1．生成一个矩阵A：A=floor(20*rand(6))并生成一个向量b：B=floor(20*rand(6,1))-10（1）

8、因为A是随机生成的，我们可以认为它是非奇异的。那么方程组应有唯一解。用运算“”求解。用Matlab计算[Ab]的行最简形U。比较U的最后一列和解x，结果是什么？【相等】在精确算术运算时，它们应当是相等的。为什么？【行最简式中可写出对应元素的实际含义，对应处的未知元就等于最后的数】试说明。为比较他们两个，计算差U(:,7)-x或用formatlong考虑它们。（2）现在改变A，试它成为