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《矩阵的应用-线性代数的MATLAB求解》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第三章线性代数问题的MATLAB求解主要内容3.1.矩阵及其运算3.2.矩阵的初等变换与线性方程组3.3.矩阵的对角化3.1.矩阵及其运算3.1.1矩阵的算术运算MATLAB中矩阵的基本运算有+,-,*,/（右除）,（左除）,^（乘方）1、矩阵的线性运算两个矩阵A,B,A+B和A-B的运算规则是：若两个矩阵的维数相同，则可以执行加减运算，相应的元素相加减，如果尾数不相同则出错。2、矩阵的乘法设两个矩阵A,B分别为m*n和n*p的矩阵，则C=A*B为m*p的矩阵3、矩阵的除法（mldivide和mrdivide/）如果两个矩阵A,B是非奇异的，则AB和A/B运算都可以
2、实现。AB等价于inv(A)*B,A/B等价于A*inv(B)对含有标量的运算，两种除法运算的结果相同3/4和4/3都是0.754、矩阵的乘方^一个矩阵的乘方运算可以表示成A^x，其中A为方阵，x为标量。5、点运算两个矩阵进行点运算是指他们的对应元素进行相关运算，要求两矩阵的维参数相同6、矩阵的转置使用单引号‘即可3.1.2方阵的行列式方阵A的行列式对应的求值函数为det(A)3.1.3矩阵的逆矩阵对于一个可逆的方阵A，求解函数为inv(A)对于普通矩阵A，求伪逆的函数为pinv(A)3.1.4应用实例-投入产出模型问题描述：国民经济各部门之间存在相互依存的关系，每个部
3、门在运转中将其他部门的半成品（称为投入）经过加工变为自己的产品（产出），如果根据各部门间的投入产出关系，确定各部门的产出水平以满足社会需求。设国民经济由农业、制造业、服务业三个部门构成，关系如下表（3-1）：单位(亿元)投入/产出农业制造业服务业外部需求总产出农业15203035100制造业301045115200服务业206007150初始投入3511075总投入100200150三个部门的投入产出表如下（表3-2）：单位(亿元)投入/产出农业制造业服务业农业0.150.100.20制造业0.300.050.30服务业0.200.300如第一行第二列的数字0.10表示生
4、产1个单位产值的制造业产品需要投入0.10个单位产值的农产品，由表3-1中20亿元农产品投入制造业可以产出200亿元制造业总产值，20/200=0.1。该表中的数字称为投入系数或消耗系数。需要解决的问题：1、如果今年对农业制造业和服务业的外部需求分别为50亿元、150亿元、100亿元，问这个三个部门的总产出分别是多少？2、如果三个部门的外部需求分别增加1个单位，问他们的总产出应分别增加多少？3、投入产出分析称为可行的，如果对于任意给定的、非负的外部需求，都能得到非负的总产品。为了可行，投入系数应该满足什么条件？模型建立：设有n个部门，记一定时期内第i个部门的总产出为xi,
5、其中对第j个部门的投入是xij,外部需求为di,则：（1）表3-1的每一行都满足(1)式，投入系数记为aij，即为第j个部门的单位产出所需要的第i个部门的投入：（2）由(1)和(2)式得到（3）记投入系数矩阵产出向量需求向量(3)式可写为：（4）或（5）当投入系数A和外部需求d给定后，求线性方程组(5)即可得到各部门的总产出x。问题(1)的解答：编写MATLAB程序：a=[0.150.10.2;0.30.050.3;0.20.30];d=[50150100]’;b=eye(3)-a;x=bd问题(2)的解答：由方程（5）可得到：（6）表明总产出x对外部需求是线性的，所以
6、当d增加1个单位时（△d），x的增量是若农业的外部需求增加1个单位，即△d=(1,0,0)T，△x为(I-A)-1的第1列。制造业和服务业同样处理。则可以直接使用求逆命令得到dx=inv(b),求得到的数字称为部门关联系数。问题(3)的解答：要使对任意的需求d≥0，（6）式总能得到总产出x≥0,显然只需要(I-A)-1≥0，由：且A≥0，所以只要：就有：由矩阵范数的性质可知与等价，且故只要即：（7）投入产出就是可行的。由（2）式可知(7)式等价于：（8）只要初始投入非负，（8）式自然成立。3.2.矩阵的初等变换与线性方程组3.2.1行最简形将矩阵初等变换成行最简形的函数为
7、rref(A)，其中单位向量对应的列向量为最大线性无关组所含向量，其它列向量的坐标为其对应向量用最大线性无关组线性表示的系数。3.2.2矩阵的秩与迹矩阵中行（列）向量组的最大线性无关的向量的个数称为矩阵的秩，rank(A)矩阵的迹等于矩阵的对角线元素之和，也等于矩阵的特征值之和，trace(A)解编写Matlab程序如下formatrat%数据是有理分数表示a=[1,-2,-1,0,2;-2,4,2,6,-6;2,-1,0,2,3;3,3,3,3,4];b=rref(a)format%恢复到短小数的显示格式3.2.3线性方程组
