八年级数学下册 17.4 一元二次方程的根与系数的关系导学案 (新版)沪科版

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1、一元二次方程的根与系数的关系1．一元二次方程的根的判别式(1)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的情况由b2－4ac来确定．我们把b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式，通常用符号“Δ”来表示，即Δ＝b2－4ac.①Δ是专指一元二次方程的根的判别式，只有确定方程为一元二次方程时，才能确定a，b，c，求出Δ.②要想利用根的判别式求解方程，首先要将方程化为一元二次方程的一般式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，以便确定a，b，c并代入b2－4ac计算．(2)一元二次方程的

2、根的情况与根的判别式的关系①利用根的判别式判定根的情况．一般地，方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，当Δ＞0时，有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，有两个相等的实数根；当Δ＜0时，没有实数根．②根据方程根的情况，确定Δ的取值范围．当方程有两个不相等的实数根时，Δ＞0；当方程有两个相等的实数根时，Δ＝0；当方程没有实数根时，Δ＜0.①如果说一元二次方程有实数根，那么应该包括有两个不相等实数根或有两个相等的实数根两种情况，此时b2－4ac≥0，切勿丢掉等号．②当b2－4ac＜0时，方程在实数范围内无解(无实数根)

3、，但在复数范围内方程仍有两个解，这将在高中阶段学习．【例1】不解方程，判别下列方程的根的情况：(1)2x2＋3x－4＝0；(2)3x2＋2＝2x；(3)x2＋1＝x；(4)ax2＋bx＝0(a≠0)；(5)ax2＋c＝0(a≠0)．分析：一元二次方程的根的情况是由Δ＝b2－4ac的符号决定的，所以判别一元二次方程根的情况即判断“Δ”的符号．尤其是当方程系数中含有字母时，一般利用配方法将“Δ”化成完全平方式或完全平方式加上(或减去)一个常数，再根据完全平方式的非负性判断“Δ”的符号，从而确定方程的根的情况，有

4、时还需要对字母进行讨论．解：(1)2x2＋3x－4＝0，a＝2，b＝3，c＝－4.∵Δ＝b2－4ac＝32－4×2×(－4)＝41＞0，∴原方程有两个不相等的实数根．(2)将方程转化为一般形式为3x2－2x＋2＝0.a＝3，b＝－2，c＝2.∵Δ＝b2－4ac＝(－2)2－4×3×2＝0，∴原方程有两个相等的实数根．(3)将方程转化为一般形式为x2－x＋1＝0.方程两边同乘以2，得x2－x＋2＝0，a＝，b＝－，c＝2.∵Δ＝b2－4ac＝(－)2－4××2＝2－8＜0，∴原方程没有实数根．(4)ax2＋b

5、x＝0(a≠0)，∵a≠0，∴方程是一元二次方程，∴Δ＝b2－4·a·0＝b2.又∵b取任何实数，b2均为非负数，∴Δ≥0恒成立．故原方程有两个实数根．(5)ax2＋c＝0(a≠0)，∵a≠0，∴方程是一元二次方程，∴Δ＝0－4ac＝－4ac.当c＝0时，Δ＝0，原方程有两个相等实数根；当a与c异号时，Δ＞0，原方程有两个不相等的实数根；当a与c同号时，Δ＜0，原方程没有实数根．运用根的判别式判断一元二次方程根的情况时，必须先把方程化为一般形式，正确地确定各项系数．2．一元二次方程的根与系数的关系如果方程a

6、x2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根为x1，x2，那么x1＋x2＝－，x1·x2＝.这个关系通常称为韦达定理．(1)在实数范围内运用根与系数的关系时，必须注意两个条件：①方程必须是一元二次方程，即二次项系数a≠0；②方程有实数根，即Δ≥0.因此，解题时要注意分析题中隐含条件Δ≥0和a≠0.(2)如果方程x2＋px＋q＝0的两个根是x1，x2，这时韦达定理应是：x1＋x2＝－p，x1·x2＝q.【例2】不解方程，说明一元二次方程2x2＋4x＝1必有实数根，并求出两根之和与两根之积．分析：因为方程2x2＋4x＝

7、1是一元二次方程，所以要说明方程有实数根，只要证明其判别式Δ≥0即可．要求两根和与积，用根与系数的关系求解．解：把方程2x2＋4x＝1转化成一般形式为2x2＋4x－1＝0.(1)∵Δ＝b2－4ac＝42－4×2×(－1)＝24＞0，∴方程有两个不相等的实数根．(2)设该方程的两根为x1，x2，由根与系数的关系可知x1＋x2＝－＝－＝－2，x1·x2＝＝＝－.点拨：运用根与系数的关系及运用根的判别式时，都必须把方程化为一般形式，以便正确确定a，b，c.3．利用根的判别式确定方程中字母系数的取值范围若一元二次方

8、程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不相等的实数根，则b2－4ac＞0；若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个相等的实数根，则b2－4ac＝0.从而根据关于字母系数的方程或不等式求出字母系数的值或取值范围．在运用时应注意前提条件：必须是一元二次方程且符合其一般形式．例如，已知关于x的方程kx2－4kx＋k－5＝0有两个相等的实数根，求k的值，并解这个方程．分析：因为方程有两个实数根，所以有隐含条件二