八年级数学下册 第一章《三角形的证明》1.3《线段的垂直平分线》教案5 （新版）北师大版

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1、《线段的垂直平分线》教学目标1、通过实际操作观察并体验线段垂直平分线的定理和逆定理的内容．2、会用定理和逆定理进行简单证明和计算．3、会利用圆规、直尺作出线段AB的垂直平分线．教学重难点教学重点：线段垂直平分线的定理和逆定理．教学难点：线段垂直平分线的定理和逆定理的应用．教学过程1、操作一（1）画线段AB的垂直平分线MN．（2）取MN上任意一点P，连结PA、PB．（3）线段PA、PB在数量上有什么关系？你会证明吗？证明：∵MN⊥AB（已知），∴∠PCA=∠PCB=90°（垂直定义）在△PCA和△PCB中，∵A

2、C=BC（已知），∠PCA=∠PCB（已证），PC=PC（公共边），∴△PCA≌△PCB（S.A.S）∴PA=PB（全等三角形对应边相等）于是，我们得到：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等．数学表达式：∵点P在线段AB的垂直平分线MN上，∴PA=PB（线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等）．2、练习（1）已知：如图，线段AB垂直平分线段CD，则AC＝_________．若线段AB，CD互相垂直平分，则AC=____________．（2）已知：如图，∠O=34°，BD垂直平分AO，求

3、∠ABC的度数．3、操作二（1）画线段AB．（2）找五个点使它们到点A、B的距离相等．可以发现这些点都在一条线上，这条线就是线段AB的垂直平分线．证明：在△MAN和△MBN中，∵MA=MB（已知），NA=NB（已知），MN=MN（公共边），∴△MAN≌△MBN（S.S.S）∴∠AMN=∠BMN（全等三角形对应角相等）又∵MA=MB，∴AC=BC，MC⊥AB（等腰三角形顶角平分线垂直平分底边）∴直线MC就是线段AB的垂直平分线．∴点M、N在线段AB的垂直平分线上．这也就是说：和线段的两个端点距离相等的点在这条线

4、段的垂直平分线上．数学表达式：∵PA＝PB∴点P在线段AB的垂直平分线上（和线段的两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上）．观察这两个定理的题设和结论，分析它们的特点，会发现前一个定理的题设和结论正好是后一个定理的结论和题设，我们把这两个定理称为线段垂直平分线的性质定理和逆定理．性质定理的条件是已知了线段的垂直平分线，逆定理的条件是有公共端点的两条线段相等．例1、已知：如图，在△ABC中AB，AC的垂直平分线相交于点O．求证：点O在BC的垂直平分线上．证明：连结OA、OB、OC，∵点O在AB的垂直平分线

5、上（已知），∴OA=OB（线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等）同理可得OA=OC．∴OB=OC（等量代换）∴点O在BC的垂直平分线上．（和线段的两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上）4、练习已知：如图，AC=BC，AD=BD．求证：AE=BE．例2、石油公司计划修建一加油站，到长沙、株洲、湘潭三地的距离相等．你认为该加油站应建于何处？学生讨论，将题目转化为建立三角形模型．利用到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上，解决问题．结论：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，这个点到三角形三个

6、顶点的距离相等．5、利用尺规作垂直平分线小组讨论利用圆规找到线段两端距离相等的点，并学会尺规作图画线段的垂直平分线．已知：线段AB，求作：线段AB的垂直平分线．作法：（1）分别以点A和B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于点C和D．（2）作直线CD，直线CD就是线段AB的垂直平分线．6、小结1、学习了线段垂直平分线的性质定理及其逆定理．2、学习了尺规作图画线段的垂直平分线．