高中数学 专题1.7.2 定积分在物理中的应用教案 新人教a版选修2-2

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1、定积分在物理中的应用【教学目标】1．能利用定积分解决物理中的变速直线运动的路程、变力做功问题．2．通过定积分在物理中的应用，学会用数学工具解决物理问题，进一步体会定积分的价值．【教法指导】本节学习重点：能利用定积分解决物理中的变速直线运动的路程、变力做功问题．本节学习难点：学会用数学工具解决物理问题，进一步体会定积分的价值．【教学过程】☆探索新知☆探究点一　变速直线运动的路程思考　变速直线运动的路程和位移相同吗？例1　一辆汽车的速度－时间曲线如图所示．求汽车在这1min行驶的路程．解　由速度－时间曲线可知：v(t)＝因此汽车在这1min行驶的路程是：s＝ʃ3tdt＋ʃ30d

2、t＋ʃ(－1.5t＋90)dt＝t2

3、＋30t

4、＋(－t2＋90t)

5、＝1350(m)．答　汽车在这1min行驶的路程是1350m.反思与感悟　(1)用定积分解决变速直线运动的位移和路程问题时，将物理问题转化为数学问题是关键．(2)路程是位移的绝对值之和，因此在求路程时，要先判断速度在区间内是否恒正，若符号不定，应求出使速度恒正或恒负的区间，然后分别计算，否则会出现计算失误．跟踪训练1　一质点在直线上从时刻t＝0(s)开始以速度v(t)＝t2－4t＋3(m/s)运动．求：(1)在时刻t＝4时，该点的位置；(2)在时刻t＝4时，该点运动的路程．解　(1)由ʃ(t2－4t＋3)

6、dt＝(－2t2＋3t)

7、＝知，在时刻t＝4时，该质点离出发点m.(2)由v(t)＝t2－4t＋3>0，得t∈(0,1)∪(3,4)．这说明t∈(1,3)时质点运动方向与t∈(0,1)∪(3,4)时运动方向相反．故s＝ʃ

8、t2－4t＋3

9、dt＝ʃ(t2－4t＋3)dt＋ʃ(4t－t2－3)dt＋ʃ(t2－4t＋3)dt＝4.即在时刻t＝4时，该质点运动的路程为4m.探究点二　变力做功问题思考　恒力F沿与F相同的方向移动了s，力F做的功为W＝Fs，那么变力做功问题怎样解决呢？例2　如图所示，一物体沿斜面在拉力F的作用下由A经B、C运动到D，其中AB＝50m，BC＝40m，CD

10、＝30m，变力F＝(单位：N)，在AB段运动时F与运动方向成30°角，在BC段运动时F与运动方向成45°角，在CD段运动时F与运动方向相同，求物体由A运动到D所做的功．(≈1.732，≈1.414，精确到1J)解　在AB段运动时F在运动方向上的分力F1＝Fcos30°，在BC段运动时F在运动方向上的分力F2＝Fcos45°.由变力做功公式得：W＝ʃcos30°dx＋ʃcos45°dx＋600＝

11、＋

12、＋600＝＋450＋600≈1723(J).所以物体由A运动到D变力F所做的功为1723J.反思与感悟　解决变力做功注意以下两个方面：(1)首先要将变力用其方向上的位移表示出来，

13、这是关键的一步．(2)根据变力做功的公式将其转化为求定积分的问题．跟踪训练2　设有一长25cm的弹簧，若加以100N的力，则弹簧伸长到30cm，求使弹簧由25cm伸长到40cm所做的功．答　使弹簧由25cm伸长到40cm所做的功为22.5J.☆课堂提高☆1．一物体沿直线以v＝3t＋2(t单位：s，v单位：m/s)的速度运动，则该物体在3～6s间的运动路程为(　　)．A．46mB．46.5mC．87mD．47m【答案】　B【解析】　s＝(3t＋2)dt＝＝(54＋12)－＝46.5(m)．2.从空中自由下落的物体，在第一秒时刻恰经过电视塔顶，在第二秒时刻物体落地，已知自由落体

14、的运动速度为v＝gt(g为常数)，则电视塔高为(　　)A.gB.gC.gD．2g【答案】　C【解析】　h＝ʃgtdt＝gt2

15、＝g.3．一物体从A处向B处运动，速度为1.4tm/s(t为运动的时间)，到B处时的速度为35m/s，则AB间的距离为(　　)A．120mB．437.5mC．360mD．480m【答案】　B【解析】　从A处到B处所用时间为25s.所以

16、AB

17、＝ʃ1.4tdt＝0.7t2

18、＝437.5(m)．4．如果1N的力使弹簧伸长1cm，在弹性限度内，为了将弹簧拉长10cm，拉力所做的功为(　　)A．0.5JB．1JC．50JD．100J【答案】　A5．A、B两站

19、相距7.2km，一辆电车从A站开往B站，电车开出ts后到达途中C点，这一段速度为1.2t(m/s)，到C点速度达24m/s，从C点到B站前的D点以等速行驶，从D点开始刹车，经ts后，速度为(24－1.2t)m/s，在B点恰好停车，试求：(1)A、C间的距离；(2)B、D间的距离；(3)电车从A站到B站所需的时间．【解析】　(1)设A到C经过t1s，由1.2t1＝24得t1＝20(s)，∴AC＝1.2tdt＝0.6t2＝240(m)．(2)设从D―→B经过t2s，由24－1.2t2＝0得t2＝20(s)，∴DB＝∫2