八年级数学下册 16.1 二次根式导学案 (新版)沪科版

《八年级数学下册 16.1 二次根式导学案 (新版)沪科版》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、二次根式1．二次根式的概念(1)一般地，我们把形如(a≥0)的式子叫做二次根式．(2)对于(a≥0)的讨论应注意下面的问题：①二次根号“”的根指数是2，二次根号下的a叫被开方数，被开方数可以是数字，也可以是整式、分式等．②式子只有在条件a≥0时才叫二次根式．即a≥0是为二次根式的前提条件．式子就不是二次根式，但式子是二次根式．③(a≥0)实际上就是非负数a的算术平方根，既可表示开方运算，也可表示运算的结果．④是二次根式，虽然＝2，但2不是二次根式．因此二次根式指的是某种式子的“外在形态”．二次根式有两个要素：一是含有二次根号“”；二是被开方数可以不只是数字，但必

2、须是非负的，否则无意义．【例1－1】当a为实数时，下列各式中哪些是二次根式？，，，，，.分析：因为a为实数，而

3、a

4、≥0，a2≥0，a2＋1＞0，(a－1)2≥0，所以，，，是二次根式．因为a是实数时，并不能保证a＋10，a2－1是非负数，即a＋10，a2－1可能是负数．如当a＜－10时，a＋10＜0；又如当0＜a＜1时，a2－1＜0，因此，，不是二次根式．解：，，，是二次根式．【例1－2】x是怎样的实数时，式子在实数范围内有意义？分析：问题实质上是问当x是怎样的实数时，x－3是非负数，式子有意义．解：由二次根式的定义可知被开方式x－3≥0，即x≥3，就是说当x

5、≥3时，式子在实数范围内有意义．2．二次根式的性质(1)(a≥0)是一个非负数(a≥0)既是二次根式，又是非负数的算术平方根，所以它一定是非负数，即≥0(a≥0)，我们把这个性质叫做二次根式的非负性．【例2－1】若＋(b－2)2＝0，则ab的值是__________．解析：由题意可知＝0，(b－2)2＝0，所以a＋3＝0，b－2＝0，则a＝－3，b＝2.所以ab＝(－3)2＝9.答案：9(2)()2＝a(a≥0)由于(a≥0)是一个非负数，表示非负数a的算术平方根，因此通过算术平方根的定义，将非负数a的算术平方根平方，就等于它本身，即()2＝a(a≥0)．【例2

6、－2】化简：①()2＝__________；②()2(x≥3)＝__________.解析：①直接利用公式()2＝a(a≥0)，可得()2＝；②因为x≥3，所以x－3≥0，所以由公式()2＝a(a≥0)，可得()2＝x－3(x≥3)．答案：①　②x－3(3)＝

7、a

8、＝由算术平方根的定义，可得＝

9、a

10、＝＝a(a≥0)表示非负数a的平方的算术平方根等于a.【例2－3】计算：(1)；(2)(a＜3)；(3)(x＜)．解析：错解正解(1)＝－1.5；(2)＝a－3；(3)＝2x－3.(1)＝

11、－1.5

12、＝1.5；(2)＝

13、a－3

14、＝3－a(a＜3)；(3)＝

15、2x－3

16、

17、＝3－2x(x＜)．错因剖析：本题对性质()2＝a(a≥0)与＝

18、a

19、应用混淆，需特别注意被开方数是非负数时，＝a(a≥0).思路分析：根据＝

20、a

21、，首先去掉根号，然后利用绝对值的定义求解.(1)()2＝a的前提条件是a≥0；而＝

22、a

23、中的a为一切实数．(2)(a≥0)，

24、a

25、，a2是三个重要的非负数，即(a≥0)≥0，

26、a

27、≥0，a2≥0，在解题时应用较多．(3)＝()2成立的条件是a≥0，否则不成立．(4)()2＝a(a≥0)可以逆用，即任意的一个非负数都可以写成它的算术平方根的平方形式．(5)在利用进行化简时，要先得出

28、a

29、，再根据绝对值的性质进行化简，一

30、定要弄清被开方数的底数是正还是负，这是容易出错的地方．3．求二次根式中被开方数字母的取值范围由二次根式的意义可知，a的取值范围是：a≥0.即当a≥0时，有意义，是二次根式；当a＜0时，无意义，不是二次根式．(1)确定形如的式子中的被开方数中的字母取值范围时，可根据式子有意义或无意义的条件，列出不等式，然后解不等式即可．(2)当被开方数是分式时，同时要求分母不等于零．求解此类问题抓住一点，就是由二次根式的定义(a≥0)得被开方数必须是非负数，即把问题转化为解不等式．【例3】当字母取何值时，下列各式为二次根式．(1)；(2)；(3)；(4).分析：必须保证被开方数是

31、非负数，以上式子才是二次根式，当分母上有未知数时，分母不能为0，根据这些要求列不等式解答即可．解：(1)因为a，b为任意实数时，都有a2＋b2≥0，所以当a，b为任意实数时，是二次根式．(2)－3x≥0，x≤0，即当x≤0时，是二次根式．(3)≥0，且x≠0，所以x＞0.当x＞0时，是二次根式．(4)≥0，故x－2≥0且x－2≠0，所以x＞2.当x＞2时，是二次根式．4．二次根式非负性的应用(1)在实数范围内，我们知道式子(a≥0)表示非负数a的算术平方根，它具有双重非负性：①≥0；②a≥0.运用这两个简单的非负性，再结合非负数的简单性质“若几个非负数的和等于0

32、，则这几个非负数都等于0