高中数学 33《一元二次方程根的分布》学案 苏教版必修1

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1、第33课时一元二次方程根的分布【学习目标】1．理解一元二次方程根的分布情况；2．在利用二次函数的图象讨论一元二次方程根的分布的情况的过程中，体会数形结合这一重要的数学思想．【课前导学】设方程的不等两根为且，相应的二次函数为，方程的根即为二次函数图象与轴的交点，它们的分布情况见下表．表一：（请独立完成）分布情况两个负根即两根都小于0两个正根即两根都大于0一正根一负根即一个根小于0，一个大于0大致图象（）得出的结论大致图象（）得出的结论综合结论（不讨论）【课堂活动】一．建构数学：表二：（探究讨论）分布情况两根都小于即两根都大于即一个根小于，一个大于即大

2、致图象（）得出的结论大致图象（）得出的结论综合结论（不讨论）表三：（探究讨论）分布情况两根都在内两根有且仅有一根在内（图象有两种情况，只画了一种）一根在内，另一根在内，大致图象（）得出的结论或大致图象（）得出的结论或综合结论（不讨论）——————根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间外，即在区间两侧，（图形分别如下）需满足的条件是（1）时，；（2）时，对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明：（1）两根有且仅有一根在内有以下特殊情况：1．若或，则此时不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为或，可以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间内，从而

3、可以求出参数的值．如方程在区间上有一根，因为，所以，另一根为，由得即为所求；2．方程有且只有一根，且这个根在区间内，即，此时由可以求出参数的值，然后再将参数的值带入方程，求出相应的根，检验根是否在给定的区间内，如若不在，舍去相应的参数．例如方程有且一根在区间内，求的取值范围．分析：①由即得出；②由即得出或，当时，根，即满足题意；当时，根，故不满足题意；综上分析，得出或二．应用数学：例1⑴关于x的方程有两实根，且一个大于1，一个小于1，求m的取值范围；⑵关于x的方程有两实根在内，求m的取值范围；⑶关于x的方程有两实根在外，求m的取值范围；⑷关于x的方

4、程有两实根，且一个大于4，一个小于4，求m的取值范围．【思路分析】按题意画函数图像，由图像列出不等式．解：令f(x)=，⑴∵对应抛物线开口向上，∴方程有两实根，且一个大于1，一个小于1，等价于f(1)<0,即解得．⑵据题意得．⑶由图知，原命题等价于∴．⑷令g(x)=，据题意得可以解得．【解后反思】讨论一元二次方程根的分布问题的解题的步骤：1．根据条件画出图象；2．根据图象写出字母参数必须满足的条件；3．解不等式组．画图像时要注意开口方向的确定．例2当关于的方程的根满足下列条件时，求实数的取值范围：（1）方程的一个根在区间上，另一根在区间上；（2）方

5、程至少有一个实根小于．解：（1）设，则方程一个根在上，另一根在上等价于或．（2）设，若方程的两个实根都小于，则有若方程的两个根一个大于，另一个小于1，则有,∴．若方程的两个根中有一个等于，由根与系数关系知另一根必为，∴，∴．综上，方程至少有一实根小于时，．三．理解数学：1．已知二次方程有一正根和一负根，求实数的取值范围．解：由即，从而得即为所求的范围．2．已知方程有两个不等正实根，求实数的取值范围．解：由或即为所求的范围．【课后提升】1．若方程在内恰有一解，则的取值范围是．2．已知二次函数与轴有两个交点，一个大于1，一个小于1，求实数的取值范围．解

6、：由即即为所求的范围．3．已知二次方程只有一个正根且这个根小于1，求实数的取值范围．解：由题意有方程在区间上只有一个正根，则即为所求范围．（注：本题对于可能出现的特殊情况方程有且只有一根且这个根在内，由计算检验，均不复合题意，计算量稍大）www.ks5u.com