高中数学 第三章 概率 古典概型解法技巧知识素材 北师大版必修3

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1、古典概型　解法技巧　　解决古典概型问题的关键是分清基本事件总数n与事件A中包含的结果数m，而这往往会遇到计算搭配个数的困难.因此，学习中有必要掌握一定的求解技巧.　　一、直接列举　　把事件所有发生的结果逐一列举出来，然后再进行求解.　　例1　甲、乙两人参加法律知识竞答，共有10道不同的题目，其中选择题6道，判断题4道，甲、乙两人依次各抽一道．　　（1）甲抽到选择题，乙抽到判断题的概率是多少？　　（2）甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？　　分析：这是一个古典概型的概率问题，关键是计算出公式中的m，n，然后直接应用公式进行求解．　　解：甲、乙两人从10道题中不放回地各抽一道题，先抽

2、的有10种抽法，后抽的有9种抽法，故所有可能的抽法是10×9＝90种，即基本事件总数是90．　　（1）记“甲抽到选择题，乙抽到判断题”为事件A，下面求事件Ａ包含的基本事件数．甲抽选择题有6种抽法，乙抽判断题有4种抽法，所以事件A的基本事件数为6×4＝24．　　．　　（2）先考虑问题的对立面：“甲、乙两人中至少有一人抽到选择题”的对立事件是“甲、乙两人都未抽到选择题”，即都抽到判断题．　　记“甲、乙两人都抽到判断题”为事件B，“至少一人抽到选择题”为事件C，则B所含基本事件数为4×3＝12．　　∴由古典概型概率公式，得，　　由对立事件的性质可得．评注：本题主要考查等可能事件的概率计算、对立事

3、件的概率计算以及分析和解决实际问题的能力．　　例2　袋中有6个球，其中4个白球，2个红球，从袋中任意取出两个，求下列事件的概率.　　（1）取出的两球都是白球；　　（2）取出的两球一个是白球，另一个是红球.　　分析：首先直接列举出任取两球的基本事件的总数，然后分别列举求出两个事件分别含有的基本事件数，再利用概率公式求解.　　解：设4个白球的编号为1，2，3，4，2个红球的编号为5，6.从袋中的6个小球中任取两个的所有可能结果如下：（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，4），（3，5），（3，6），（4，5），（4，6

4、），（5，6），共15个.　　（1）从袋中的6个球中任取两个，所取的两球全是白球的方法数，即是从4个白球中任取两个的方法数，共有6个，即为（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4）.　　∴取出的两个球全是白球的概率为：；　　（2）从袋中的6个球中任取两个，其中一个是红球，而另一个为白球，其取法包括（1，5），（1，6），（2，5），（2，6），（3，5），（3，6），（4，5），（4，6），共8个.∴取出的两个球一个是白球，另一个是红球的概率为：．　　二、巧用图表　　由于古典概型问题中基本事件个数有限，故通过图表可以形象，直观地解决这类问题.　　例3　一个口袋内

5、装有大小相等的1个白球和已编有不同号码的3个黑球，从中摸出2个球，求摸出2个黑球的概率.　　分析：运用集合中的Ｖenn图直观分析.　　解：如图所示，所有结果组成的集合U含有6个元素，故共有6种不同的结果.　　Ｕ的子集A有3个元素，故摸出2个黑球有3种不同的结果.因此，摸出2个黑球的概率是：．　　三、逆向思维　　对于较复杂的古典概型问题，若直接求解有困难时，可利用逆向思维，先求其对立事件的概率，进而再求所求事件的概率.　　例4　同时抛掷两枚骰子，求至少有一个5点或6点的概率.　　分析：直接求解，运算较繁，而利用对立事件求概率则很简捷.　　解：至少有一个5点或6点的对立事件是：没有5点或6点.

6、因为没有5点或6点的结果共有16个，而抛掷两枚骰子的结果共有36个，所以没有5点或6点的概率为：．至少有一个5点或6点的概率为．　　四、活用对称性　　例5　有A，B，C，D，E共5人站成一排，A在B的右边（A，B可以不相邻）的概率是多少？解析：由于A，B不相邻，A在B的右边和B在A的右边的总数是相等的，且A在B的右边的排法数与B在A的右边的排法数组成所有基本事件总数，所以A在B的右边的概率是．　　五、数形结合法　　例6　如图所示的道路，每一个分叉口都各有2条新的歧路，如果有一只羊进入这个路网，已经走过了10个分叉口，那么从某一条歧路上去找这只羊，找到的可能性有多大？　　解析：经过1个分叉口

7、，歧路有2条；　　经过2个分叉口，歧路有条；　　经过3个分叉口，歧路有条；　　…，　　经过n个分叉口，歧路有条．现在羊已经走过了10个分叉口，羊可以走的歧路有210条，而能找到这只羊的路只有其中1条，故找到这只羊的概率只有．　　六、模拟法　　例7　某人有5把钥匙，其中2把能打开门，现随机地取1把钥匙试着开门，不能开门就扔掉，问第三次才打开门的概率是多大？如果试过的钥匙不扔掉，这个概率又是多少？设计一个试验，随机模拟估计上