高中数学 2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义（二）教案 新人教a版必修4

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1、课题2.4.1平面向量的数量积物理背景（2）教学目标知识与技能掌握平面向量数量积的运算律及常用的公式．过程与方法会利用向量数量积的有关运算律进行计算或证明．情感态度价值观向量a、b的数量积a·b重点考察一下这种运算的运算律是非常必要的．难点利用向量数量积的有关运算律进行计算或证明．教学设计教学内容教学环节与活动设计1．向量的数量积(内积)_______________叫做向量a和b的数量积(或内积)，记作a·b.即a·b＝_______________．_________叫做向量a在b方向上的投影，_________叫做向量b在a方向上的投影．2．向量数量积的性

2、质设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量．(1)a·e＝e·a＝_____________；(2)a⊥b⇒a·b＝__且a·b＝__⇒a⊥b；(3)a·a＝___或

3、a

4、＝______；(4)cos〈a，b〉＝______；(5)

5、a·b

6、_____

7、a

8、

9、b

10、.3．向量数量积的运算律(1)a·b＝______(交换律)；(2)(λa)·b＝______＝______(结合律)；(3)(a＋b)·c＝_________(分配律).探究点二　向量数量积的运算律已知向量a，b，c和实数λ，向量的数量积满足下列运算律：①a·b＝b·a(交换律)；②(λa)·b

11、＝λ(a·b)＝a·(λb)(数乘结合律)；③(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．问题1　证明a·b＝b·a.问题2　证明(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．(提示：分λ＝0，λ>0，λ<0三种情况讨论)教学内容教学环节与活动设计【典型例题】例1　给出下列结论：①若a≠0，a·b＝0，则b＝0；②若a·b＝b·c，则a＝c；③(a·b)c＝a(b·c)；④a·[b(a·c)－c(a·b)]＝0，其中正确结论的序号是________．跟踪训练1　设a，b，c是任意的非零向量，且它们相互不共线，给出下列结论：①a·c－b·c＝(a－b)·c；②(b·c)

12、·a－(c·a)·b不与c垂直；③

13、a

14、－

15、b

16、<

17、a－b

18、；④(3a＋2b)·(3a－2b)＝9

19、a

20、2－4

21、b

22、2.其中正确的序号是________．例2　已知

23、a

24、＝6，

25、b

26、＝4，a与b的夹角为60°，求(a＋2b)·(a－3b)．解　(a＋2b)·(a－3b)＝a·a－a·b－6b·b＝

27、a

28、2－a·b－6

29、b

30、2＝

31、a

32、2－

33、a

34、·

35、b

36、cosθ－6

37、b

38、2＝62－6×4×cos60°－6×42＝－72.例3　已知

39、a

40、＝3，

41、b

42、＝4，且a与b不共线，k为何值时，向量a＋kb与a－kb互相垂直．解　a＋kb与a－kb互相垂直的条件是(a＋kb)·(

43、a－kb)＝0，即a2－k2b2＝0.∵

44、a

45、＝3，

46、b

47、＝4，∴9－16k2＝0，∴k＝±.当k＝±时，a＋kb与a－kb互相垂直．跟踪训练3　已知e1与e2是两个互相垂直的单位向量，k为何值时，向量e1＋ke2与ke1＋e2的夹角为锐角？解　∵e1＋ke2与ke1＋e2的夹角为锐角∴(e1＋ke2)·(ke1＋e2)＝ke＋ke＋(k2＋1)e1·e2＝2k>0，∴k>0但当k＝1时，e1＋ke2＝ke1＋e2，它们的夹角为0，不符合题意，舍去．综上，k的取值范围为k>0且k≠1.教学设计教学内容教学环节与活动设计1．已知

48、a

49、＝2，

50、b

51、＝1，a与b之间的

52、夹角为60°，那么向量a－4b的模为(　　)A．2B．2C．6D．122．已知

53、a

54、＝1，

55、b

56、＝，且(a＋b)与a垂直，则a与b的夹角是(　　)A．60°B．30°C．135°D．45°3．设

57、a

58、＝3，

59、b

60、＝2，

61、c

62、＝5，向量a与b的夹角为，向量b与c的夹角为，则

63、(a·b)·c

64、＝________；

65、a·(b·c)

66、＝________.教学小结两向量a与b的数量积是一个实数，不是一个向量，其值可以为正(当a≠0，b≠0,0°≤θ<90°时)，也可以为负(当a≠0，b≠0,90°<θ≤180°时)，还可以为0(当a＝0或b＝0或θ＝90°时)．课后反思