高中数学 2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义（一）教案 新人教a版必修4

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1、课题2.4.1平面向量的数量积的物理背景教学目标知识与技能了解平面向量数量积的物理背景，即物体在力F的作用下产生位移s所做的功．过程与方法掌握平面向量数量积的定义和运算律，理解其几何意义．情感态度价值观会用两个向量的数量积求两个向量的夹角以及判断两个向量是否垂直．重点向量的数量积是一种新的乘法，和向量的线性运算有着显著的区别，难点向量的数量积与实数的乘积既有区别又有联系，教学设计教学内容教学环节与活动设计探究点一　平面向量数量积的含义已知两个非零向量a与b，我们把数量

2、a

3、

4、b

5、cosθ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝

6、a

7、

8、

9、b

10、cosθ，其中θ是a与b的夹角，θ∈[0，π]．规定：零向量与任一向量的数量积为0.问题1　如果一个物体在力F的作用下产生位移s，那么力F所做的功W＝_________＝___.问题2　向量的数量积是一个数量，而不再是向量．对于两个非零向量a与b.当θ∈_________时，a·b>0；当_________时，a·b＝0，即a⊥b；当θ∈_________时，a·b<0.探究点二　投影问题1　我们把

11、a

12、cosθ叫做向量a在b方向上的投影，

13、b

14、cosθ叫做向量b在a方向上的投影，其中θ为向量a与b的夹角．由数量积的定义a·b＝

15、a

16、

17、

18、b

19、cosθ可得：

20、a

21、cosθ＝；

22、b

23、cosθ＝.例如，

24、a

25、＝2，

26、b

27、＝1，a与b的夹角θ＝120°，则a在b方向上的投影为，b在a方向上的投影为.教学内容教学环节与活动设计探究点三　平面向量数量积的性质根据向量数量积的定义，补充完整数量积的性质．设a与b都是非零向量，θ为a与b的夹角．(1)当〈a，b〉＝0时，a·b＝；当〈a，b〉＝π时，a·b＝；当〈a，b〉＝时，a·b＝；(2)a·a＝或

28、a

29、＝＝；(3)cosθ＝；(4)

30、a·b

31、

32、a

33、

34、b

35、.【典型例题】例1　已知

36、a

37、＝4，

38、b

39、＝5，当(1)a∥b；(2)a⊥b；(3

40、)a与b的夹角为30°时，分别求a与b的数量积．解　(1)a∥b，若a与b同向，则θ＝0°，a·b＝

41、a

42、·

43、b

44、·cos0°＝4×5＝20；若a与b反向，则θ＝180°，∴a·b＝

45、a

46、·

47、b

48、cos180°＝4×5×(－1)＝－20(2)当a⊥b时，θ＝90°，∴a·b＝

49、a

50、·

51、b

52、cos90°＝0.(3)当a与b的夹角为30°时，a·b＝

53、a

54、·

55、b

56、cos30°＝4×5×＝10.跟踪训练1　已知

57、a

58、＝4，

59、b

60、＝3，当(1)a∥b；(2)a⊥b；(3)a与b的夹角为60°时，分别求a与b的数量积．解　(1)当a∥b时，若a与b同向

61、，则a与b的夹角θ＝0°，∴a·b＝

62、a

63、

64、b

65、cosθ＝4×3×cos0°＝12.若a与b反向，则a与b的夹角为θ＝180°，∴a·b＝

66、a

67、

68、b

69、cos180°＝4×3×(－1)＝－12.(2)当a⊥b时，向量a与b的夹角为90°，∴a·b＝

70、a

71、

72、b

73、cos90°＝4×3×0＝0.(3)当a与b的夹角为60°时，∴a·b＝

74、a

75、

76、b

77、cos60°＝4×3×＝6.教教学内容教学环节与活动设计学设计例2　已知

78、a

79、＝

80、b

81、＝5，向量a与b的夹角为，求

82、a＋b

83、，

84、a－b

85、.解　a·b＝

86、a

87、

88、b

89、cosθ＝5×5×＝.

90、a＋b

91、＝＝＝＝5.

92、

93、a－b

94、＝＝＝＝5.跟踪训练2　已知

95、a

96、＝8，

97、b

98、＝6，

99、a＋b

100、＝10，求向量a与b的夹角θ.解　∵

101、a

102、＝8，

103、b

104、＝6.∴

105、a＋b

106、2＝(a＋b)2＝a2＋b2＋2a·b＝82＋62＋2a·b＝100，∴a·b＝0，∴cosθ＝＝0，∴θ＝.教学小结两向量a与b的数量积是一个实数，不是一个向量，其值可以为正(当a≠0，b≠0,0°≤θ<90°时)，也可以为负(当a≠0，b≠0,90°<θ≤180°时)，还可以为0(当a＝0或b＝0或θ＝90°时)．课后反思