《导数与微分部分》word版

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1、第二章导数与微分1、利用导数定义求函数极限如果存在注意：分子中的“口”和分母中的“口”应一致，且符号也相同例1设在点可导，求下列极限（1）（2）设，其中有二阶导数，求2、利用定义求函数的导数例2(1)设，求注意：函数仅在处存在二阶导数，故求时不能直接利用求导公式。（2）设周期函数的周期为5，可导，且，求曲线在点处的切线方程。（3）设，，求3、求含有绝对值的函数和分段函数的导数分析:含有绝对值的函数可转化为分段函数，（1）当x>a当x

2、可导，且，求在点可导的充要条件-8-（3）已知,则是否存在（4）设，其中，，求4、分段函数在分段点处的导数存在,求待定系数已知在处可导,求中的待定系数分析：（1）在处可导,则在处连续,即﹡（2）求,,而﹟（3）由﹡和﹟,求待定系数例4已知在处可导,求a,b5、求分段函数的导数,并会讨论导数在分段点处的连续性函数,求,并讨论的连续性分析:（1）先求；（2）然后讨论在定义域内的连续性例5设问如何选取a,b,c才能使f(x)处处具有一阶连续导数，但在x=0处却不存在二阶导数。6、利用导数求函数例6（1）设f(x)在（0，+∞）内有定义，且，又

3、对，有，求注意：有乘积的，一般令、互为倒数（2）设函数满足等式，且存在，求注意：有和的，一般令、互为相反数；有差的，一般令、相等7求导例7已知=,求f＇（１）。-8-8复合函数的求导例8求导（1）；(2)设，，求.9求反函数的导数例9设，求10隐函数的求导例10求导（1）(2)设y=y(x)是由方程xy+ey=1所确定的隐函数，求。11由参数方程所确定的函数的导数例11求导数（1）（2）12对数求导法求函数的导数<1>(1)对幂指函数两边取对数(2)两边对x求导得:(3)则例12求导(1)；(2)<2>多重函数的连乘除,多重根式内商的函

4、数求导例13求导(1)；(2)13抽象函数的求导例14求导（1）；（2）设，，求14求高阶导数常见函数的高阶导数（1）-8-（2）（3）（4）（5）（6）（7）两个函数乘积的阶导数公式例15求高阶导数（1）（2）(3)求在x=0的。练习1设在点可导，求下列极限（1）（2）2（1）设在上有定义，在处可导，且，其中，求(2)设f(x)在内有定义，若有，，求。(3)设在处可导，且，求3（1）已知,求的导数(2)设求。-8-(3)设讨论在x=0处的连续性与可导性。(4)已知g(x)在x=a连续，讨论f(x)=

5、x-a

6、×g(x)在该点的可导性。

7、(5)设f(x)=

8、x3-1

9、，其中在x=1处连续，则f(x)在x=1处可导的条件是什么(6)设，定义域为（0，2），其中，，试在其定义域内求。4已知为可导函数,求a,b5（1）已知,求并讨论的连续性（2）其中g(x)有二阶连续导数,且g(0)=1,g(0)=－1,①求(x)；②讨论(x)在内的连续性。6（1）设为连续函数，且存在，对和y有①证明对一切x，f(x)可微；②若，求f(x)。（2），且，证明7已知f(t)=(tan(tan(tan,求f＇（１）。8求导（1）（2）（3）9求导（1）（2）(3)设f(x)为可微函数，且y2f(

10、x)+xf(y)=x2，求-8-10已知求11求导(1)设可导，且，求（2）设，，求12求阶导数（1）（2）(3)设有任意阶导数，且，求（n>2）。历届高等数学竞赛真题1、求的阶导数2、，求3、，求4、设，当时，求5.（1）设函数可导，并且，则当时，该函数在点处微分是的（A）A等价无穷小B同阶但不等价的无穷小C高阶无穷小D低阶无穷小（2）设函数在点处可导，则在点处不可导的充要条件是（C）A且B且C且D且（3）设函数与在开区间内可导，考虑如下的两个命题：（1）若，则；（2）若，则。则（B）A两个命题均正确B两个命题均不正确C命题（1）正确

11、，命题（2）不正确D命题（1）不正确，命题（2）正确（4）设函数在的一个领域内有定义，则在点处存在连续函数使是在点处可导的（C）A充分而非必要条件B必要而非充分条件C充分必要条件D既非充分，也非必要（5）设函数对任意都满足，且，其中均为非零常数，则-8-在处（）A不可导B可导，且C可导，且D可导，且6、设，求7、设，求8、（1）设函数由参数方程所确定，求（2）曲线，在点处的法线方程为（3）设函数由参数方程所确定，其中可导，且，求（5）设摆线方程为，则此曲线在处的法线方程为（6）设函数由方程所确定，则9、（1）设函数在点的某邻域内具有二阶

12、导数，且。求。（2）设函数，其中具有连续二阶导函数，且。①确定的值，使在点处可导，并求。②讨论在点处的连续性。10、（1）设，求。（2）设，求11、设为实数，，在处可导，求的范围-8-12、设，是正整数，求