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《高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.2.5 距离学业分层测评 新人教b版选修2-1》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、3.2.5距离(建议用时:45分钟)[学业达标]一、选择题1.已知平面α的一个法向量n=(-2,-2,1),点A(-1,3,0)在平面α内,则点P(-2,1,4)到平面α的距离为( )A.10 B.3 C. D.【解析】 由题意可知=(1,2,-4).设点P到α的距离为h,则h==.【答案】 D2.在△ABC中,AB=15,∠BCA=120°,若△ABC所在平面α外一点P到A,B,C的距离都是14,则P到α的距离是( )A.13B.11C.9D.7【解析】 作PO⊥α于点O,连接OA,OB,OC,∴PA=PB=PC,∴OA=OB=OC,∴O是△ABC的外心.∴OA===5,∴
2、PO==11即为所求.【答案】 B3.在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中,M是AA1的中点,则点A1到平面MBD的距离是( )A.B.C.D.【解析】 建立如图所示的空间直角坐标系,则D(0,0,0),M,B(a,a,0),A1(a,0,a),∴=,=(a,a,0),=(a,0,a).设平面MBD的法向量为n=(x,y,z),则令x=1,则可得n=(1,-1,-2).∴d===a.【答案】 A4.若正四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面边长为1,AB1与底面ABCD成60°角,则A1C1到底面ABCD的距离为( )【导学号:15460082】A.B.1C.D.【解析】 如
3、图,A1C1∥平面ABCD,所以A1C1到平面ABCD的距离等于点A1到平面ABCD的距离,由AB1与平面ABCD所成的角是60°,AB=1,所以BB1=,即点A1到平面ABCD的距离为.【答案】 D5.已知二面角αlβ为60°,动点P,Q分别在平面α,β内,P到β的距离为,Q到α的距离为2,则P,Q两点之间距离的最小值为( )A.2B.2C.2D.4【解析】 作PM⊥β,QN⊥α,垂足分别为M,N.分别在平面α,β内作PE⊥l,QF⊥l,垂足分别为E,F,如图所示,连接ME,NF,则ME⊥l,∴∠PEM为二面角αlβ的平面角,∴∠PEM=60°.在Rt△PME中,
4、
5、===2,同理
6、
7、
8、=4.又=++,∴
9、
10、2=4+
11、
12、2+16+2·+2·+2·=20+
13、
14、2+2×2×4cos120°=12+
15、
16、2.∴当
17、
18、2取最小值0时,
19、
20、2最小,此时
21、
22、=2.【答案】 C二、填空题6.如图3242,已知在60°的二面角αlβ中,A∈α,B∈β,AC⊥l于C,BD⊥l于D,并且AC=1,BD=2,AB=5,则CD=________.图3242【解析】 ∵AC⊥l,BD⊥l,αlβ为60°的二面角,∴〈,〉=60°.∵=++,∴2=2+2+2+2·+2·+2·,∴52=12+2+4+2·
23、
24、
25、
26、×cos〈,〉,∴2=20-2×1×2×cos120°=22,∴
27、
28、=.【答案】 7
29、.在底面为直角梯形的四棱锥PABCD中,侧棱PA⊥底面ABCD,BC∥AD,∠ABC=90°,PA=AB=BC=2,AD=1,则点D到平面PBC的距离是________.【解析】 分别以AB,AD,AP所在直线为x轴,y轴、z轴建立空间直角坐标系如图,则A(0,0,0),P(0,0,2),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,1,0),∴=(2,2,-2),=(0,2,0).设n=(x,y,z)为平面PBC的法向量,则即取x=1,则n=(1,0,1).又=(-2,1,0),∴点D到平面PBC的距离为=.【答案】 8.正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a,E,F分别是BB1,C
30、D的中点,则点F到平面A1D1E的距离为________.【解析】 建立空间直角坐标系,则A1(a,0,a),D1(0,0,a),A(a,0,0),B(a,a,0),B1(a,a,a),E,F,如图所示.设平面A1D1E的法向量为n=(x,y,z),则n·=0,n·=0,即∴-ax=0,ay-z=0,∴令z=2,得n=(0,1,2).又=,∴所求距离d===a.【答案】 a三、解答题9.在四棱锥PABCD中,四边形ABCD为正方形,PD⊥平面ABCD,PD=DA=2,E,F分别为PC,AD的中点.图3243(1)证明:DE∥平面PFB;(2)求点E到平面PFB的距离.【解】 (1)证明
31、:以D为原点,建立如图所示的坐标系,则P(0,0,2),F(1,0,0),B(2,2,0),E(0,1,1).=(-1,0,2),=(1,2,0),=(0,1,1).∴=+.∴∥平面PFB.又∵D∉平面PFB,∴DE∥平面PFB.(2)令平面PFB的法向量为n=(x,y,z),则⇒令x=2,则∴法向量n=(2,-1,1).又∵=(0,1,-1),∴d===.∴点E到平面PFB的距离为.10.已知正方形ABCD的边长为1,PD⊥平面ABCD,且P