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1、基于MATLAB在傅里叶变换中的应用樊（学号：）（学院专业班）摘要：MATLAB自推出以来就受到广泛的关注，其强大的扩转功能为各个领域的应用提供了有力的工具。信号处理箱就是其中之一。在信号处理工具箱中，MATLAB提供了滤波器分析、滤波器实现、模拟滤波器设计、模拟滤波器变换、滤波器离散化、线性系统变换等方面的函数命令。应用MATLAB作数值计算，针对当自变量的信号“时间”或“频率”取连续值或离散值时形成的五种情况作出相应的计算及频谱曲线。关键词：傅里叶变换；周期；频率；MATLAB。1.引言MAT
2、LAB是国际上公认的优秀、可靠的科学计算和仿真的标准软件。它在许多科学领域中成为计算机辅助设计和分析、算法研究的基本工具。在傅里叶变换中，应用MATLAB作数值计算，可以很容易的作出相对应的计算及频谱曲线，大大提高了计算效率。2.傅里叶变换傅里叶变换就是建立以时间为自变量的“信号”与以频率为自变量之间的某种变化关系。所以，当自变量“时间”或“频率”取连续值或离散值时，就形成了几种不同形式的傅里叶变换，如表1傅里叶变换形式所示。表1傅里叶变换形式时域信号特性频率特性变换名称非周期连续信号连续频谱傅里
3、叶变换周期性连续信号离散频谱傅里叶级数非周期连续信号连续频谱序列傅里叶变换周期性离散信号周期性离散频谱离散傅里叶级数离散信号（有限样本点）周期性离散频谱离散傅里叶变换3.连续时间、连续频率 福利叶变换这就是连续时间非周期信号x(t)福利叶变换关系，所得到的是连续的非周期的频率密集度函数.其变换对为：正变换：（1）逆变换：（2）7例1分析如图1时域信号及其频谱图所示的矩形脉冲信号（非周期信号）在=-40~40rad/s区间的频谱。（a）采样密（b）采样稀，有频率泄漏图1时域信号及其频谱图根
4、据离散时间信号的Z变换定义：，矩形脉冲信号的频谱为：按MATLAB作数值计算的要求，它不能计算无限区间，根据信号波形的情况，将积分上下限定为0~10s，并将t分成N等份，用求和代替积分。这样，（3）可写为（4）这说明求和的问题可以用行向量乘以列向量来实现，式中是t的增量，在程序中用dt表示。由于求一系列不同（程序中用用W表示）处的F值，都用同一公式，这就可以利用matlab中的元素群运算能力。类似地也可以得到傅里叶逆变换的数值计算式。MATLAB源程序如下：clear,tf=10;7N=input
5、;dt=10/N;t=[1:N]*dt;f=[ones(1,N/2),zeros(1,N/2)];wf=input;Nf=input;w1=linspace(0,wf,Nf);dw=wf/(Nf-1);F1=f*exp(-j*t'*w1)*dt;w=[-fliplr(w1),w1(2:Nf)];F=[fliplr(F1),F1(2:Nf)];subplot(1,2,1),plot(t,f,'linewidth',1.5),gridonset(gcf,'color','w')axis([0,10,0
6、,1.1])subplot(1,2,2),plot(w,abs(F),'linewidth',1.5)gridon程序运行结果：若时间分隔的点数N=256，需求得频率宽度wf=40，需求的频率点数Nf=64，所得结果所示。若取时间分隔的点数N=64，频数宽度=40，频谱点数Nf=256，则得结果所示。此时采取采样周期为dt=10/64s，对应的采样频率fs=1/dt=6.4Hz或=40.2124rad/s。从图中可以看出高频频谱以/2处为基准线的转迭，出现频率泄露。1.连续时间、离散频率 傅
7、里叶级数设代表一个周期为的周期性连续时间函数，课展开成傅里叶级数，其傅里叶级数的系数为，是离散频率的非周期函数，和组成的变换对为：正变换：（5）逆变换：（6）7式中，为离散频率相邻两谱线之间的频率间隔，为谐波序号。1.离散时间、连续频率 序列傅里叶变换如果信号是非周期且绝对可和，则它的离散时间傅里叶变换对数为：正变换：（7）逆变换：（8）在时域上市离散序列，而在频域上是连续函数，即具有连续的频谱。这里的为数字频域，它与模拟角频率的关系为：，其中T为模拟信号的抽样时间间隔。值得注意的是，对于序
8、列傅里叶变换，如果为无限长，那么就不能用MATLAB直接利用式来计算，只可以用它对表达式在频率点上求值，在画出它的幅度和相位（或者实部和虚部）。如果为有限长，那么就可直接用MATLAB，根据式，在任意频率对进行数值计算。例2求，的离散时间傅里叶变换。MATLAB源程序如下：n=0:10;x=(0.9*exp(j*pi/3)).^n;k=-200:200;w=(pi/100)*k;X=x*(exp(-j*pi/100)).^(n'*k);magX=abs(X);angX=angle(
