《轨迹与方程》word版

《《轨迹与方程》word版》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。

1、第二章轨迹与方程学习目标1．进一步理解曲线和方程的关系，会写出平面曲线的矢量式（坐标式）参数方程，能将曲线的参数方程与普通方程进行互化，认识一些常见平面曲线的方程及形状。2．理解曲面方程的概念，能根据曲面上点的特征性质来导出曲面的方程。3．初步理解柱面的概念，知道母线平行于坐标轴的柱面方程。4．理解空间曲线的一般方程、参数方程的概念，会求一些简单的空间曲线的一般方程和参数方程。A：掌握1：基本概念：平面曲线的矢量式参数方程，曲面的一般方程和参数方程（坐标式和矢量式），空间曲线的一般方程和参数方程（坐标式和矢量式）。母线平行于坐标轴的柱面，空间曲

2、线对坐标面的射影柱面及空间曲线在三坐标面上的射影。2：基本方法①根据轨迹条件用矢量方法求平面曲线和空间曲线（圆柱螺旋线、圆锥螺旋线）的参数方程。②根据轨迹条件求曲面的一般方程和用矢量方法求曲面（球面、圆柱面）的参数方程。③将曲线、曲面的参数方程化为一般方程。④二次柱面简图的画法。⑤求空间曲线对坐标面的射影柱面和它在三坐标面上的射影。3：基本理论①三元二次方程表示球面（包括点球面、虚球面）的充要条件的证明及球心、半径的求法②母线平行于坐标轴的柱面方程的特征及证明B：理解将平面曲线和空间曲线的一般方程化为参数方程的常规方法。教材分析本章的学习重点是

3、曲面及空间曲线的一般方程和参数方程（坐标式和矢量式）的定义，以及根据轨迹条件建立曲面的一般方程和参数方程、建立空间曲线的参数方程。本章的学习难点是用矢量方法建立曲线和曲面的矢量式的参数方程。在本章的学习中建议注意以下几个问题：1：在学习轨迹与方程的对应关系时，必须弄清楚为什么要满足两个条件。2：学习空间曲面的一般方程时应指出F（x,y,z）=0未必表示一个曲面，它可以表示多个曲面、空间曲线、空间点虚曲面，例如方程xyz=0表示三个坐标面，方程表示一直线方程表示一点（1，-1，2）方程表示虚曲面93：空间曲线的一般方程不唯一，可以对空间曲线的一般

4、方程进行同解变形，将方程组化简，从而判定曲线的形状和位置。例如：判定空间曲线(c)的形状和位置.。所以两球面的交线就是圆柱面与平面的交线，是平面上以(0,0,a/2)为圆心，为半径的圆。*注意①在不同的坐标系中同一个方程表示的图形不同例如：在中表示圆；在中表示圆柱面在中表示原点；在中表示z轴在学习中同学们要注意突破在平面解析几何中形成的思维定势，要在空间看问题。②平面曲线的参数方程含一个参数，两个坐标;曲面的参数方程含两个参数，三个坐标；空间曲线的参数方程含一个参数，三个坐标，同学们要会根据参数方程的形式判定表示的是平面曲线或空间曲线或曲面。4

5、：用矢量方法推导曲线或曲面的参数方程是本章学习的难点，其关键是取定坐标系后把动点的径矢分解为若干个矢量的和，如何分解？在求平面曲线中摆线族（摆线、内摆线、外摆线、圆的渐开线）的参数方程时动点运动的轨迹可以看作动圆绕定圆公转，同时动圆上一点绕动圆圆心自转两种圆周叠加，因此可以把动点的径矢分解为定圆和动圆两个半径矢量之和利用圆的矢量式参数方程。≮求解。求空间曲面或曲线的参数方程时经常是作径矢的坐标折线，把分解为平行坐标轴的三个矢量之和，这样做便于找出x,y,z与参数之间的函数关系。5：化平面曲线和空间曲线的一般方程为参数方程是本章学习的又一难点，在

6、学习中注意两种常用的方法。①9化平面曲线的一般方程为参数方程，可过曲线上一点作直线束，求此直线束与曲线的交点。如：化椭圆的方程为参数方程。可在椭圆上取一点(0,b)，过(0,b)作直线束y=tx+b，求此直线束与椭圆的交点得：②化空间曲线的一般方程为参数方程，常用的方法之一是求空间曲线在坐标面上（例如xoy面上）的射影，求出射影（平面曲线）的参数方程，再代入原方程组解z。例如：viviani曲线在xoy面上的射影是圆此圆的参数方程为即为简便起见，设得再代入解得即得viviani曲线上、下两叶的参数方程分别为9若扩大的取值范围为，则方程即可表示曲

7、线上、下两叶。6：参数方程与一般方程的互化，一定要注意方程的等价性，曲线上的点既不能增加，也不能减少。例如化半立方抛物线的方程为参数方程，若设x=t解得只能表示半立方抛物线的上半支。7：为了训练自己的作图能力，必须学会如何画二交柱面的简图，作图时先作出柱面与坐标面的交线，再作出它们平行于坐标面的截口，同学们要自己练习。教学内容§2.1平面曲线的方程平面上的曲线都看成具有某种特征性质的点的集合。曲线上点的特征包括两层意思：（1）曲线上的点都具有这些性质；（2）具有这些性质的点都在曲线上。它也可以说成是点在曲线上的充要条件。曲线上点的特征性质，在建

8、立了坐标系的平面上，反映为曲线上点的坐标x和y所应该满足的相互制约条件，一般用方程F（x，y）=0或y=f(x)表达。一．定义2.1.1当平面上取定了