高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.2.1 直线的方向向量与平面的法向量学案苏教版选修2-1

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1、3.2.1直线的方向向量与平面的法向量【学习目标】1．掌握平面的法向量的概念及性质,理解平面的向量表示,掌握直线与平面垂直的判定定理,能够由条件证明直线与平面垂直．2．理解掌握两个平面平行或垂直的条件,能够利用向量的平行或垂直的条件证明两个平面平行或垂直．【学习重点】平面法向量的概念．【学习难点】平面法向量的理解及灵活应用．【学习过程】一．知识要点1．直线的方向向量的向量叫做直线l的方向向量．2．平面法向量的概念，那么称向量垂直于平面α，记作⊥α．此时，我们把向量叫做平面α的法向量．说明：⑴平面的一个法向量垂直于与

2、平面α共面的所有向量；⑵一个平面的所有法向量平行．3．平面法向量的表示式A是空间任一点，为空间任一非零向量，则·=0表示通过空间内一点A并且与一个向量垂直的平面．说明：⑴满足·=0的点M的轨迹是一个与向量垂直的平面．⑵若，分别是平面α，β的法向量，则α∥β或α与β重合Û∥；α⊥βÛ⊥Û·=0．二．基础训练1．已知A(1，0，1)，B(0，1，1)，C(1，1，0），则平面ABC的一个法向量是；这个法向量的单位向量是．2．平面α的一个法向量为=(1，2，1)，平面β的一个法向量为=−(3，4，2)，则平面α与平面β的

3、位置关系是．3．已知向量=(1，1，−1)，与平行的单位向量是．4．原点O在平面α上的射影为P(2，9，−6)，则平面α的方程为．三．例题讲解例1．如图，点E为矩形ABCD所在平面外一点，且AE⊥平面ABCD．已知△EAD是等腰三角形，F，G分别是AB，EC的中点．DCBAEGF求证：是平面ECD的法向量．2．已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=，AF=1，M是线段EF的中点．求证：CBADEFM(1)AM∥平面BDE；(2)AM⊥平面BDF．例3．求通过点P1(3，1，−1)，P2(1，−1

4、，0)，且平行于=(−1，0，2)的平面．四．课堂练习1．在空间直角坐标系中，下列向量中是平面xOz的法向量的是．2．平面α的一个法向量这(1，2，0)，平面β的一个法向量为(2，−1，0)，则平面α与平面β的位置关系是．3．已知向量=(3，4，12)，与平行的单位向量是．五．课堂小结1．一个平面的法向量，其实就是该平面的一条垂线上的方向向量；直线的方向向量和平面的法向量是不唯一的；2．利用直线的方向向量和平面的法向量来解决空间的线、面的平行、垂直等问题的关键是确定合适的方向向量和法向量；3．求直线的方向向量和平面

5、的法向量，一般采用待定系数法．先设出向量，然后再利用向量的垂直或向量的平行等条件来确定法向量或方向向量；4．(A，B，C)是平面Ax+By+Cz+D=0的一个法向量．六．课后作业1:1．空间直角坐标系中，A(1，2，3)，B(−1，0，5)，C(3，0，4)，D(4，1，3)，则直线AB与CD的位置关系是．2．直线l的方向向量为=(1，−1，3)，平面α的法向量为=(0，3，1)，则l与α的关系是．3．已知三角形ABC的三顶点A(1，−2，−3)，B(−1，−1，−1)，C(0，0，−5)，则△ABC的形状是．4．

6、若两条异面直线的方向向量的夹角是150°，则这两条异面直线所成的角是．5．空间直角坐标系中，设平面α经过点P(x0，y0，z0)，平面α的法向量为=(A，B，C)，M(x，y，z)是平面α内任意一点，则x，y，z满足的关系式为．6．在空间直角坐标系中，平面3x+4y−12z+15=0的单位法向量是．7．已知四棱锥S-ABCD的底面是直角梯形，∠ABC=90°，AD∥BC，SA⊥平面ABCD，SA=AB=BC=1，AD=，求平面SDC的一个法向量．8．在正方体ABCD−A'B'C'D'中，证明BD'⊥平面ACB'．