《梯度散度旋度》word版

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1、拉普拉斯算子维基百科，自由的百科全书跳转到：导航,搜索在數學以及物理中，拉普拉斯算子或是拉普拉斯算符（Laplaceoperator或Laplacian）是一個微分算子，通常寫成Δ或；這是為了紀念皮埃爾-西蒙·拉普拉斯而命名的。拉普拉斯算子有許多用途，此外也是椭圆型算子中的一個重要例子。在物理中，常用於波方程的數學模型、熱傳導方程以及亥姆霍茲方程。在靜電學中，拉普拉斯方程和泊松方程的應用隨處可見。在量子力學中，其代表薛丁格方程式中的動能項。在數學中，經拉普拉斯算子運算為零的函數稱為调和函数；拉普拉斯算子是霍奇理論的核心，並且是德拉姆上同調的結果。

2、目录[隐藏]·1定义·2坐標表示式o2.1二維空間o2.2三維空間o2.3N维空间·3恒等式·4推广o4.1拉普拉斯-贝尔特拉米算子·5参考文献·6外部連結[编辑]定义拉普拉斯算子是n维欧几里得空间中的一个二阶微分算子，定义为梯度（）的散度（）。因此如果f是二阶可微的实函数，则f的拉普拉斯算子定义为：   (1)f的拉普拉斯算子也是笛卡儿坐标系xi中的所有非混合二阶偏导数：   (2)作为一个二阶微分算子，拉普拉斯算子把Ck函数映射到Ck-2函数，对于k ≥ 2。表达式(1)（或(2)）定义了一个算子Δ :Ck(Rn)→Ck-2(Rn)，或更一般

3、地，定义了一个算子Δ :Ck(Ω)→Ck-2(Ω)，对于任何开集Ω。函数的拉普拉斯算子也是该函数的黑塞矩阵的迹：[编辑]坐標表示式[编辑]二維空間其中x與y代表x-y平面上的笛卡兒坐標另外極坐標的表示法為：[编辑]三維空間笛卡兒坐標系下的表示法圓柱坐標系下的表示法球坐標系下的表示法[编辑]N维空间在参数方程为（其中以及）的N维球坐标系中，拉普拉斯算子为：其中是N−1维球面上的拉普拉斯-贝尔特拉米算子。我们也可以把的项写成。[编辑]恒等式·如果f和g是两个函数，则它们的乘积的拉普拉斯算子为：f是径向函数f(r)且g是球谐函数Ylm(θ,φ)，是一个

4、特殊情况。这个情况在许多物理模型中有所出现。f(r)的梯度是一个径向向量，而角函数的梯度与径向向量相切，因此：球谐函数还是球坐标系中的拉普拉斯算子的角部分的特征函数：因此：[编辑]推广拉普拉斯算子可以用一定的方法推广到非欧几里得空间，这时它就有可能是椭圆型算子，双曲型算子，或超双曲型算子。在闵可夫斯基空间中，拉普拉斯算子变为达朗贝尔算子：达朗贝尔算子通常用来表达克莱因-高登方程以及四维波动方程。第四个项前面的符号是负号，而在欧几里德空间中则是正号。因子c是需要的，这是因为时间和空间通常用不同的单位来衡量；如果x方向用寸来衡量，y方向用厘米来衡量，

5、也需要一个类似的因子。[编辑]拉普拉斯-贝尔特拉米算子主条目：拉普拉斯–贝尔特拉米算子拉普拉斯算子也可以推广为定义在黎曼流形上的椭圆型算子，称为拉普拉斯-贝尔特拉米算子。达朗贝尔算子则推广为伪黎曼流形上的双曲型算子。拉普拉斯–贝尔特拉米算子还可以推广为运行于张量场上的算子（也称为拉普拉斯–贝尔特拉米算子）。另外一种把拉普拉斯算子推广到伪黎曼流形的方法，是通过拉普拉斯–德拉姆算子，它作用在微分形式上。这便可以通过外森比克恒等式来与拉普拉斯–贝尔特拉米算子联系起来。