高中数学 3.1.1 方程的根与函数的零点教案 新人教a版必修1

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1、3．1.1　方程的根与函数的零点[学习目标]　1.理解函数零点的定义，会求函数的零点.2.掌握函数零点的判定方法.3.了解函数的零点与方程的根的联系．[知识链接]考察下列一元二次方程与对应的二次函数：(1)方程x2－2x－3＝0与函数y＝x2－2x－3；(2)方程x2－2x＋1＝0与函数y＝x2－2x＋1；(3)方程x2－2x＋3＝0与函数y＝x2－2x＋3.你能列表表示出方程的根，函数的图象及图象与x轴交点的坐标吗？答案方程x2－2x－3＝0x2－2x＋1＝0x2－2x＋3＝0函数y＝x2－2x－3y＝x2－2x＋1y＝x2－2x＋3函数的图象方程的实

2、数根x1＝－1，x2＝3x1＝x2＝1无实数根函数的图象与x轴的交点(－1,0)、(3,0)(1,0)无交点[预习导引]1．函数的零点对于函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．2．方程、函数、图象之间的关系；方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．3．函数零点存在的判定方法如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0.那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(

3、x)＝0的根．温馨提示　判定函数零点的两个条件缺一不可，否则不一定存在零点；反过来，若函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，则f(a)·f(b)＜0不一定成立．要点一　求函数的零点例1　判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．(1)f(x)＝x2＋7x＋6；(2)f(x)＝1－log2(x＋3)；(3)f(x)＝2x－1－3；(4)f(x)＝.解　(1)解方程f(x)＝x2＋7x＋6＝0，得x＝－1或x＝－6，所以函数的零点是－1，－6.(2)解方程f(x)＝1－log2(x＋3)＝0，得x＝－1，所以函数的零点是－1.(3)解方程f(x)＝2x

4、－1－3＝0，得x＝log26，所以函数的零点是log26.(4)解方程f(x)＝＝0，得x＝－6，所以函数的零点为－6.规律方法　求函数零点的两种方法：(1)代数法：求方程f(x)＝0的实数根；(2)几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y＝f(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．跟踪演练1　判断下列说法是否正确：(1)函数f(x)＝x2－2x的零点为(0,0)，(2,0)；(2)函数f(x)＝x－1(2≤x≤5)的零点为x＝1.解　(1)函数的零点是使函数值为0的自变量的值，所以函数f(x)＝x2－2x的零点为0和2，故(1)错．

5、(2)虽然f(1)＝0，但1∉[2,5]，即1不在函数f(x)＝x－1的定义域内，所以函数在定义域[2,5]内无零点，故(2)错．要点二　判断函数零点所在区间例2　在下列区间中，函数f(x)＝ex＋4x－3的零点所在的区间为(　　)A.B.C.D.答案　C解析　∵f＝－2＜0，f()＝－1＞0，∴f·f＜0，∴零点在上．规律方法　1.判断零点所在区间有两种方法：一是利用零点存在定理，二是利用函数图象．2．要正确理解和运用函数零点的性质在函数零点所在区间的判断中的应用，若f(x)图象在[a，b]上连续，且f(a)·f(b)＜0，则f(x)在(a，b)上必有

6、零点，若f(a)·f(b)＞0，则f(x)在(a，b)上不一定没有零点．跟踪演练2　函数f(x)＝ex＋x－2所在的一个区间是(　　)A．(－2，－1)B．(－1,0)C．(0,1)D．(1,2)答案　C解析　∵f(0)＝e0＋0－2＝－1＜0，f(1)＝e1＋1－2＝e－1＞0，∴f(0)·f(1)＜0，∴f(x)在(0,1)内有零点．要点三　判断函数零点的个数例3　判断函数f(x)＝lnx＋x2－3的零点的个数．解　方法一　函数对应的方程为lnx＋x2－3＝0，所以原函数零点的个数即为函数y＝lnx与y＝3－x2的图象交点个数．在同一坐标系下，作出两

7、函数的图象(如图)．由图象知，函数y＝3－x2与y＝lnx的图象只有一个交点．从而lnx＋x2－3＝0有一个根，即函数y＝lnx＋x2－3有一个零点．方法二　由于f(1)＝ln1＋12－3＝－2＜0，f(2)＝ln2＋22－3＝ln2＋1＞0，∴f(1)·f(2)＜0，又f(x)＝lnx＋x2－3的图象在(1,2)上是不间断的，所以f(x)在(1,2)上必有零点，又f(x)在(0，＋∞)上是递增的，所以零点只有一个．规律方法　判断函数零点个数的方法主要有：(1)对于一般函数的零点个数的判断问题，可以先确定零点存在，然后借助于函数的单调性判断零点的个数；(

8、2)由f(x)＝g(x)－h(x)＝0，得g(x)＝h(x)，在同一坐标系下作出