2016高考数学大一轮复习 14.4不等式的证明试题 理 苏教版

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1、【步步高】2016高考数学大一轮复习14.4不等式的证明试题理苏教版1.求证:++…+<2(n∈R*).证明∵<=-,∴++…+<1+(1-)+(-)+…+(-)=1+(1-)=2-<2.2.已知x2+2y2+3z2=,求3x+2y+z的最小值.解 ∵(x2+2y2+3z2)≥2=(3x+2y+z)2,当且仅当x=3y=9z时,等号成立.∴(3x+2y+z)2≤12,即-2≤3x+2y+z≤2.当x=-,y=-,z=-时,3x+2y+z=-2,∴最小值为-2.3.设正实数a、b满足a2+ab-1+b

2、-2=3,求证:a+b-1≤2.证明 由a2+ab-1+b-2=3,得ab-1=(a+b-1)2-3,又正实数a、b满足a+b-1≥2,即ab-1≤,当且仅当a=b时取“=”.∴(a+b-1)2-3≤,∴a+b-1≤2.4.已知an=+++…+(n∈N*),求证:n,∴an=++…+>1+2+3+…+n=.∵<,∴an<+++…+=+(2+3+…+n)+=.综上得:

3、,+≥,当且仅当x=y=z时,以上三式等号都成立.将上述三个不等式两边分别相加,并除以2,得++≥++.6.已知a、b都是正实数,且ab=2.求证:(1+2a)(1+b)≥9.证明 法一 因为a、b都是正实数,且ab=2,所以2a+b≥2=4.所以(1+2a)(1+b)=1+2a+b+2ab≥9.法二 因为a、b都是正实数,所以由柯西不等式可知(1+2a)(1+b)=[12+()2][12+()2]≥(1+)2.又ab=2,所以(1+)2=9.所以(1+2a)(1+b)≥9.法三 因为ab=2,所以

4、(1+2a)(1+b)=(1+2a)=5+2.因为a为正实数,所以a+≥2=2.所以(1+2a)(1+b)≥9.法四 因为a、b都是正实数,所以(1+2a)(1+b)=(1+a+a)·≥3··3·=9·.又ab=2,所以(1+2a)(1+b)≥9.7.设实数x、y、z满足x+2y-3z=7,求x2+y2+z2的最小值.证明 由柯西不等式,得(x2+y2+z2)·[12+22+(-3)2]≥(x+2y-3z)2.∵x+2y-3z=7,∴x2+y2+z2≥.当且仅当x==时取等号,即x=,y=1,z=-

5、时取等号.∴x2+y2+z2的最小值为.8.已知m、n是正数,证明:+≥m2+n2.证明 ∵+-m2-n2=+==,∵m、n均为正实数,∴≥0,∴+≥m2+n2.当且仅当m=n时,等号成立.9.已知a、b、c满足abc=1,求证:(a+2)(b+2)(c+2)≥27.证明 (a+2)(b+2)(c+2)=(a+1+1)(b+1+1)(c+1+1)≥3··3··3·=27·=27.当且仅当a=b=c=1时等号成立.10.已知x、y、z均为正数,求证:≤.证明 由柯西不等式,得(12+12+12)≥2.

6、即×≥++.∴≤.当且仅当==时等号成立.11.已知a,b为实数,且a>0,b>0.(1)求证:≥9;(2)求(5-2a)2+4b2+(a-b)2的最小值.(1)证明 因为a>0,b>0,所以a+b+≥3=3>0,①同理可证:a2++≥3>0.②由①②及不等式的性质得=3×3=9.(2)解 [(5-2a)2+4b2+(a-b)2][12+12+22]≥[(5-2a)×1+2b×1+(a-b)×2]2.所以(5-2a)2+4b2+(a-b)2≥.当且仅当==时取等号,即a=,b=.所以当a=,b=时,

7、(5-2a)2+4b2+(a-b)2取最小值.12.已知a,b为正实数.(1)求证:+≥a+b;(2)利用(1)的结论求函数y=+(00,b>0,∴(a+b)=a2+b2++≥a2+b2+2ab=(a+b)2.∴+≥a+b,当且仅当a=b时等号成立.法二 ∵+-(a+b)====.又∵a>0,b>0,∴≥0,当且仅当a=b时等号成立.∴+≥a+b.(2)解 ∵00,由(1)的结论,函数y=+≥(1-x)+x=1.当且仅当1-x=x,即x

8、=时等号成立.∴函数y=+(0

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