2016高考数学大一轮复习 14.4不等式的证明试题 理 苏教版

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1、【步步高】2016高考数学大一轮复习14.4不等式的证明试题理苏教版1．求证：＋＋…＋<2(n∈R*)．证明∵<＝－，∴＋＋…＋<1＋(1－)＋(－)＋…＋(－)＝1＋(1－)＝2－<2.2．已知x2＋2y2＋3z2＝，求3x＋2y＋z的最小值．解　∵(x2＋2y2＋3z2)≥2＝(3x＋2y＋z)2，当且仅当x＝3y＝9z时，等号成立．∴(3x＋2y＋z)2≤12，即－2≤3x＋2y＋z≤2.当x＝－，y＝－，z＝－时，3x＋2y＋z＝－2，∴最小值为－2.3．设正实数a、b满足a2＋ab－1＋b

2、－2＝3，求证：a＋b－1≤2.证明　由a2＋ab－1＋b－2＝3，得ab－1＝(a＋b－1)2－3，又正实数a、b满足a＋b－1≥2，即ab－1≤，当且仅当a＝b时取“＝”．∴(a＋b－1)2－3≤，∴a＋b－1≤2.4．已知an＝＋＋＋…＋(n∈N*)，求证：n，∴an＝＋＋…＋>1＋2＋3＋…＋n＝.∵<，∴an<＋＋＋…＋＝＋(2＋3＋…＋n)＋＝.综上得：

3、，＋≥，当且仅当x＝y＝z时，以上三式等号都成立．将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，得＋＋≥＋＋.6．已知a、b都是正实数，且ab＝2.求证：(1＋2a)(1＋b)≥9.证明　法一　因为a、b都是正实数，且ab＝2，所以2a＋b≥2＝4.所以(1＋2a)(1＋b)＝1＋2a＋b＋2ab≥9.法二　因为a、b都是正实数，所以由柯西不等式可知(1＋2a)(1＋b)＝[12＋()2][12＋()2]≥(1＋)2.又ab＝2，所以(1＋)2＝9.所以(1＋2a)(1＋b)≥9.法三　因为ab＝2，所以

4、(1＋2a)(1＋b)＝(1＋2a)＝5＋2.因为a为正实数，所以a＋≥2＝2.所以(1＋2a)(1＋b)≥9.法四　因为a、b都是正实数，所以(1＋2a)(1＋b)＝(1＋a＋a)·≥3··3·＝9·.又ab＝2，所以(1＋2a)(1＋b)≥9.7．设实数x、y、z满足x＋2y－3z＝7，求x2＋y2＋z2的最小值．证明　由柯西不等式，得(x2＋y2＋z2)·[12＋22＋(－3)2]≥(x＋2y－3z)2.∵x＋2y－3z＝7，∴x2＋y2＋z2≥.当且仅当x＝＝时取等号，即x＝，y＝1，z＝－

5、时取等号．∴x2＋y2＋z2的最小值为.8．已知m、n是正数，证明：＋≥m2＋n2.证明　∵＋－m2－n2＝＋＝＝，∵m、n均为正实数，∴≥0，∴＋≥m2＋n2.当且仅当m＝n时，等号成立．9．已知a、b、c满足abc＝1，求证：(a＋2)(b＋2)(c＋2)≥27.证明　(a＋2)(b＋2)(c＋2)＝(a＋1＋1)(b＋1＋1)(c＋1＋1)≥3··3··3·＝27·＝27.当且仅当a＝b＝c＝1时等号成立．10．已知x、y、z均为正数，求证：≤.证明　由柯西不等式，得(12＋12＋12)≥2.

6、即×≥＋＋.∴≤.当且仅当＝＝时等号成立．11．已知a，b为实数，且a>0，b>0.(1)求证：≥9；(2)求(5－2a)2＋4b2＋(a－b)2的最小值．(1)证明　因为a>0，b>0，所以a＋b＋≥3＝3>0，①同理可证：a2＋＋≥3>0.②由①②及不等式的性质得＝3×3＝9.(2)解　[(5－2a)2＋4b2＋(a－b)2][12＋12＋22]≥[(5－2a)×1＋2b×1＋(a－b)×2]2.所以(5－2a)2＋4b2＋(a－b)2≥.当且仅当＝＝时取等号，即a＝，b＝.所以当a＝，b＝时，

7、(5－2a)2＋4b2＋(a－b)2取最小值.12．已知a，b为正实数．(1)求证：＋≥a＋b；(2)利用(1)的结论求函数y＝＋(00，b>0，∴(a＋b)＝a2＋b2＋＋≥a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2.∴＋≥a＋b，当且仅当a＝b时等号成立．法二　∵＋－(a＋b)＝＝＝＝.又∵a>0，b>0，∴≥0，当且仅当a＝b时等号成立．∴＋≥a＋b.(2)解　∵00，由(1)的结论，函数y＝＋≥(1－x)＋x＝1.当且仅当1－x＝x，即x

8、＝时等号成立．∴函数y＝＋(0