高中数学第一章直线多边形圆1.1全等与相似三角形的应用素材北师大版选修4

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1、三角形的应用全等定义两个能够完全重合的三角形称为全等三角形。性质全等三角形的对应角相等，对应边也相等。翻折，平移，旋转，多种变交叠加后仍全等。判定两个三角形对应的三条边相等，两个三角形全等，简称“边边边”或“SSS"；两个三角形对应的两边及其夹角相等，两个三角全等，简称“边角边”或“SAS”；两个三角形对应的两角及其夹边相等，两个三角形全等，简称“角边角”或“ASA”；两个三角形对应的两角及其一角的对边相等，两个三角形全等，简称“角角边”或“AAS”；两个直角三角形对应的一条斜边和一条直角边相等，两个直角三角形全等

2、，简称“直角边、斜边”或“HL”；注意：证明三角形全等没有“SSA”或“边外边角”的方法，即两边与其中一边的对角相等，是无法证明这两个三角形全等的。但从其意义上来说，直角三角形的“HL”证明等同“SSA”。相似定义对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。性质相似三角形对应边成比例，对应角相等。相似三角形对应边的比叫做相似比。相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。相似三角形对应线段（角平分线、中线、高）之比等于相似比。[6]判定如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相

3、似（简称：三边对应成比例的两个三角形相似）。如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似（简称：两边对应成比例且其夹角相等的两三角形相似）。如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似（简称：两角对应相等的两三角形相似）。如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个三角形相似。特殊点五心、四圆、三点、一线：这些是三角形的全部特殊点，以及基于这些特殊点的相关几何图形。“五心”指重心、垂心、

4、内心、外心和旁心；“四圆”为内切圆、外接圆、旁切圆和欧拉圆；“三点”是勒莫恩点、奈格尔点和欧拉点；“一线”即欧拉线。五心的距离OH²=9R²–(a²+b²+c²),OG²=R²–(a²+b²+c²)/9,OI²=R²–abc/(a+b+c)=R²–2RrGH²=4OG²GI²=(p²+5r²–16Rr)/9,HI²=4R²-p²+3r²+4Rr=4R²+2r²-(a²+b²+c²)/2,其中，R是外接圆半径；r是内切圆半径。稳定性证明任取三角形两条边，则两条边的非公共端点被第三条边连接。∴第三条边不可伸缩或弯折∴两

5、端点距离固定∴这两条边的夹角固定∵这两条边是任取的∴三角形三个角都固定，进而将三角形固定∴三角形有稳定性任取n边形（n≥4）两条相邻边，则两条边的非公共端点被不止一条边连接∴两端点距离不固定∴这两边夹角不固定∴n边形（n≥4）每个角都不固定∴n边形（n≥4）没有稳定性证毕作用三角形的稳定性使其不像四边形那样易于变形，有着稳固、坚定、耐压的特点。三角形结构的在工程上有广泛的应用。许多建筑都是三角形的结构，如：埃菲尔铁塔，金字塔等等。有关定理中位线定理中线定理三角形内角和定理三边关系定理勾股定理射影定理正弦定理余弦定理

6、梅涅劳斯定理塞瓦定理莫利定理