考研数学——微积分公式

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1、第一讲函数、极限与连续重要公式与结论一、函数的奇偶性、周期性与导数、积分的联系1.设是可导的偶函数，则为奇函数，且；设是可导的奇函数，则为偶函数。2.设连续：如为偶函数，则为奇函数；如为奇函数，则对任意的，为偶函数。3.设在上连续，则4.可导的周期函数的导函数仍为同周期函数。5.设是以为周期的连续函数，则二、在自变量不同变化过程中的函数极限及其联系1.2.3.4.设[评注]由结论3，4知可利用函数极限求数列极限。三、连续的隐含条件如题中给了连续条件，应充分利用以下结论：1.设在处连续，则2.设在上连续，则在上可积，且可构造的原函数，对在上可应用最值、介

2、值、零点定理。四、两个重要极限的一般形式1.设，则2.设，则（因为）。五、无穷小量与界变量之积为无穷小量特例：设六、极限存在准则及性质1.单调有界数列必有极限。2.夹逼准则：设在的某空心邻域内（或当时），有，且，则3.极限的局部保号性与有界性：设，（1）则存在的某空心邻域，使得在该邻域内有界；（2）如果（或），则存在的某空心邻域，使得在此邻域内有（或）；（3）如果在的某空心邻域内有或（），则（或）；（4）无穷小量，使.七、无穷小量的等价替换1.若，则2.常见的等价无穷小：设，则3.八、常见的极限不存在的函数1.无穷大量是极限不存在的一种形式。2.设，则

3、下列函数的极限不存在：，，，，此时应注意利用无穷小量乘有界变量仍为无穷小量以及左右极限等进行讨论。九、几个常用极限1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.第二讲导数与微分重要公式与结论一、导数定义与极限的联系1.设存在，如果，则如果，则2.设在处连续，则二、可导、可微、连续及极限的关系三、导数的几何意义切线方程：法线方程：特别地，如，切线方程为：；法线方程为：。如，切线方程为：；法线方程为：。四、奇偶函数、周期函数的导数1.可导偶函数的导函数为奇函数。特别地，设为偶函数，且存在，则。2.可导奇函数的导函数为偶函数。3.可导周期函数的导函数仍为同周期函

4、数。特别地，设存在，则五、六、含绝对值函数的可导性1.设存在，且有定义，则在处可导。2.设存在，则在处可导。七、高阶导数公式1.设函数，在点处有阶导数，则（1）2.基本初等函数的阶导数公式。（1），（2），（3）（4）第四讲一元函数积分学重要公式与结论一、奇偶函数、周期函数的积分1.设连续，如为偶（奇）函数，则为奇（偶）函数；如为奇函数，则对任意，为偶函数。2.设在上连续，则3.设是以为周期的连续函数，则，。特别地有二、利用积分定义求项和的极限设连续，则，。三、定积分的不等式性质1.设，在上连续，且，则2.设在上连续，则3.设，在上连续，则4.设在上连

5、续，且，但不恒等于零，则注：以上不等式必须有条件，如，则不等号反向。四、积分中值定理1.设在上连续，则使注：可改为。2.设在上连续，在上可积且不变号，则，使五、变限积分1.若在上连续，则可导，且2.若在上可积，则在上连续。3.若连续，，可导，则对于一般情形，先把提到积分号外，再令，从而将积分化为被积函数不含变量的变限积分，最后再求导。第六讲多元函数积分学重要公式与结论一、二重积分的性质1.线性运算性质：2.积分可加性：，其中，而且与除边界外没有其他公共点。3.积分中值定理：设函数在闭区域上连续，表示的面积，则在上至少存二、二重积分的对称性1.若关于轴对

6、称，则其中为的上半平面部分。2.若关于轴对称，则其中为的右半平面部分。1.轮换对换性：若互换后区域不变（即区域关于直线对称），则第七讲无穷级数重要公式与结论1.对于级数，令表示其部分和数列，则（1）若收敛，则，；（2）若，或该极限不存在，则发散。2.设都是非零常数，则有：（1）若与都收敛，则也收敛；（2）若和中一个收敛，另一个发散，则发散；（3）若与都发散，则的敛散性不确定。3.设（或）。如果，则，且和都发散。4.（1）若幂级数在处收敛，则对任何满足的，绝对收敛；（2）若幂级数在处发散，则对任何满足的，发散。5.幂级数的变换公式。（1）设的收敛域为，其

7、和函数为，设是定义在上的一个已知函数，则的收敛域为，且其和函数为；（2）最常用的变换是，其中为某个正常数。6.对于任意项级数，若发散，且是由比值或根值判别法判定的，则也发散。7.几何级数在时收敛，且；当时，发散。8.时发散。第九讲经济应用重要公式与结论1.复利与连续复利公式。分期复利计息公式：，其中为年利率。连续复利计息公式：。[例9.1]设一笔本金存入银行，年复利率为，在下列情况下，分别计算年后的本利和：（1）一年结算一次；（2）一年分期计息，每期利率按计算；（3）银行连续不断地向顾客付息利，即，此种计息方式称为连续复昨。[详解]（1）一年结算一次时

8、，一年后的本利和为，第二年后的本利和为，依此递推关系，年后的本利和为（2）一年结算次，年共结算