5.(15浙江理13)如图,在三棱锥中,,,点,分别是,

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1、第九章直线平面简单几何体图(b)图(a)5．（15浙江理13）如图，在三棱锥中，，，点，分别是，的中点，则异面直线，所成的角的余弦值是．【审题要津】利用平移使两条异面直线与“对接”是解答本题的首要之举．针对题设图形结构，借助平面平移是适宜的．为此如图（a）所示，取的中点．联结，则由三角形中位线性质，可知．以下只需在平面内，分别求出的各边之长，即可利用余弦定理达到目的．解：继审题要津，易知即为异面直线，所成的角．因为，又点为的中点，所以，且，从而由勾股定理，可得，同理可得．进而由点为中点，可得，由，可得．于是在中，由余弦定理有，故填．【解法研究】本题

2、也可如下求解：如图（b）所示，联结．取点为中点．联结．由可知，即为异面直线，所成的角．在中，易知，，，故所求．（王成维）6．（15四川理14）如图，四边形和均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点在线段上，，分别是，的中点．设异面直线与所成的角为，则的最大值为．图(a)【审题要津】针对所求，首先应当考虑的是，如何将异面直线，平移到一个三角形内．注意到和在平面中，又是定直线，因此从平移入手是适宜的．为此如图（a）所示，取的中点．联结，又点为中点，因此由三角形中位线性质，可知．可见（或其补角）即为异面直线与所成的角．以下只需从“极端化”入手，即可发现解

3、题入口．解：依审题要津，联结．由，易推得．从而由三垂线定理，又可得知．当动点由点沿方向向点移动时，点在平面内的射影点也逐渐向点靠拢．联结，显然此时逐渐增大（大于），进而也逐渐增大，于是可知，当点与点重合时，·191·第九章直线平面简单几何体最大．设其补角为，则知的最大值即为．如图（b）所示，延长，使之与的延长线交于点图(b)．设，则，，．引于点．由，可得，即，又因为，所以，故填．图(c)【解法研究】针对本题图形结构，也可以，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图（c）所示的空间直角坐标系．设正方形边长为，，则，，，所以，即．令，要使最大，显然．所以．当

4、且仅当，即点与点重合时，取得最大值．（侯守一）7．（15浙江理8）如图，已知，是的中点，沿直线将翻折成，所成二面角的平面角为，则（）．A．B．C．D．【审题要津】如图所示，作于点，于点．点为中点，为异面直线与的公垂线段．由二面角的平面角定义可设及．对算两遍且看结果如何．解：继审题要津，在中，由余弦定理，可得；类似两条异面直线上两点的距离公式有从而有，即，亦即．于是由，有，故，即·191·第九章直线平面简单几何体．选B．【解法研究】所谓“算两遍”，是指对同一个量用两种不同的方法去计算，算得的两个结果不论在形式上有多大差异，两者一定相等．注意：算“第二

5、遍”所用的公式中的角，一定是二面角的大小，而不一定是异面直线和所成的角．可以证明：与的大小关系是不确定的．（王世堃）8．（14新课标Ⅱ理11）直三棱柱中，，分别是的中点，，则与所成角的余弦值为（）．A．B．C．D．【审题要津】如图，注意到分别为的中点，有，于是取的中点，易得，所以即为所求．求角不过是比例问题，不妨设，以求方便计算．解：依审题要津，由题设，可得，，，，选C．【解法研究】由于为等腰三角形，求底角不必用余弦定理．此外，本题也可分别以，，为轴建立空间直角坐标系，各点坐标很易表达．利用空间向量研究异面直线成角问题最适宜．此外，计算时，是将其视

6、为长方体的对角线来解决的，这一点，请大家理解．（邵德彪）9．（14四川理8）在正方体中，点为线段的中点，设点在线段上，直线与平面所成的角为，则的取值范围是（）．A．B．C．D．图(a)【审题要津】如图（a）所示，显然平面．在这里，平面表示正方体的对角面．而由平面，可知平面平面，且两平面的交线为．针对所求，不妨在平面内引于点，则由面面垂直的性质定理，可知平面．由此可见，或其补角即为．注意到，均在正方体的对角面内，因此可将问题转化为平面几何求解．由于所求的是比值，故可设已知正方体的棱长为．图(b)解：依审题要津，联结．与此同时延长，使之相交于点．·19

7、1·第九章直线平面简单几何体如图（b）所示，当点重合于点时，．此时由，，可得当点重合于点时，．如图（b），引于点，则，又，所以．当点重合于中点时，由（图（a）），而平面，故，此时．综上所述，的取值范围是，故选B．【解法研究】“平面的一条斜线和它在这个平面上的射影所成的锐角”．这正是我们在审题要津中声明“或其补角即为”的缘由．将解题背景转换为平面几何的环境之中，便于理清思路，对此应认真领会．（王成维）10．（14浙江文10理17）如图，某人在垂直于水平地面的墙面前的点处进行射击训练，已知点到墙面的距离为，某目标点沿墙面上的射线移动，此人为了准确瞄准目

8、标点，需计算由点观察点的仰角的大小（仰角为直线与平面所成角）．若，．（文）则的最大值是（）．A．B．C．D．（理）则的最大