工科基础数学第五章一元函数微积分的应用

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1、第五章一元函数微积分的应用一元函数的微分和积分的产生都有着实际背景，它们在自然科学、经济领域以及工程技术上有着广泛的应用。本章将通过介绍微分中值定理，给出求极限的另外一种方法—罗必塔法则；以导数为工具，研究函数的一些几何性态（单调性，极值，凹凸性等），解决一些常见的应用问题；由微分和函数增量的关系，给出微分在近似计算中的简单应用；通过不定积分来求几个简单的一阶微分方程的解；利用微元法思想，结合定积分的几何意义，求平面区域的面积以及一些特殊的空间立体的体积。第一节中值定理一、罗尔定理若在闭区间上连续，开区间内可导，且，则至少存在一点，使＝0。罗尔定理的几何意义是:定理的证明略。罗尔定理的三

2、个条件缺一不可，否则结论不真。二、拉格朗日中值定理去掉罗尔定理中相当特殊的条件，仍保留其余两个条件，可得到微分学中十分重要的拉格朗日中值定理：若在闭区间上连续，在开区间内可导，则至少存在一点，使得该定理的几何意义是：是弦的斜率，为曲线在点处的切线斜率。在曲线上至少有一点，使曲线在点处的切线平行于弦。三、柯西中值定理若函数、满足下述三个条件：(1)在连续；(2)在可导；(3)。则至少存在一点，使得柯西中值定理的几何意义也十分明显，考虑由参数方程所表示的曲线，试为参变量曲线上点处的切线斜率为弦的斜率为假定点对应于参数，那未曲线点处切线平行于弦，于是。四、中值定理运用举例例1试证：当时，有不等

3、式。证明考虑辅助函数，由拉格朗日中值定理有即而故。第二节罗必达法则当(或)时，两个函数与都趋向于零或都趋向于无穷大，那么，极限可能存在，也可能不存在。通常把这种极限叫做不定式，并分别简记为。对不定式，不能简单地用“商的极限等于极限商”这一求极限法则来处理。求不定式极限有一种简便方法——罗必达法则，见下述两个重要定理。一、基本类型的不定式罗必达法则:(1)当时（），函数及都趋于零（或者都趋于）；(2)及在点的某个邻域内(点本身除处)存在，且；(3)存在(或无穷大)，则。注意：（1）此定理用来处理时的不定式极限问题。这种通过分子与分母导数之比的极限来确定不定式极限的方法称之为罗必达法则。（2

4、）如果极限仍属于，且、又满足定理中的条件，则可以再使用罗必达法则。即还可以继续使用下去。（3）如果不存在（也不是），不能断言也不存在，只能说明该极限不适合用罗必达法则来求。反例：极限存在，而使用罗必达法则不存在。例1求极限(1)(2)解这两个例子都是型不定式⑴⑵例2求极限(1)(2)解这两个例子仍然都是型不定式⑴原式＝⑵原式例3求极限(1)(2)解这两个例子都是型不定式⑴原式＝⑵ 原式＝除型不定式外，还有等类型的不定式。计算这些类型的极限，可利用适当变换将它们化为型不定式，再利用罗必达法则，这里不再详细介绍，只举几个例题，有兴趣的读者可参阅有关书籍。例4求，解原式＝结论可推广到一般，（为

5、正实数）例5求解原式＝＝ 型的不定式，一般是幂指函数的极限，可采用对数求极限法。例6求解设，取对数 ，则 从而有 例7求，（型）解令，则故例8求型解令则试一试:求下列极限：⑴；⑵（为常数）；⑶；⑷；⑸；第三节函数的单调性一、从几何图形上看函数的单调性函数与它的导函数在[-1,1]上的图像，从图形上可以观察到：函数在[-1,0]上是单调减少，在(0,1]上是单调增加；其导函数在[-1,0]上小于零，在(0,1]上大于零。函数的单调性是否与导函数的符号有关呢?为此，我们进一步地作图，希望从中获得更多的感性认识。曲线是单调递增的曲线是单调递减的函数在[a,b]上单调增加(减少)，则它的图形是一

6、条沿轴正向上升(下降)的曲线，曲线上各点处的切线之斜率均为正的(负的)，即：这表明：函数的单调性确实与其导数的符号有关，因此，可以利用导数的符号来判定函数的单调性。二、函数单调性的判别法设函数在上连续，在内可导，内的任意两点，且设，则，若在内，则>0，从而；即：函数在上单调增加；若在内，则<0，从而，即：函数在上单调减少。综上讨论，我们有如下结论：函数单调性判别法设函数在上连续，在内可导，(1)若在内，则在上单调增加；(2)若在内，则在上单调减少。说明：（1）判别法中的闭区间若换成其他各种区间（包括无穷区间），结论仍成立。（2）以后把函数单调的区间称之为函数的单调区间。例1讨论函数的单调

7、性。解函数的定义域为，且当时，，故函数在()上单调减少；当时，，故函数在上单调增加。例2讨论函数的单调性。解函数的定义域为，当时，，<0,故函数在上单减；当时，，，故函数在上单增。因此，可以通过求函数的一阶导数其符号不确定的点，将函数的定义域分划成若干个部分区间，再判定函数一阶导数在这些部分区间上的符号，继而可决定函数在这些部分区间上的单调性。例3试确定函数的单调区间。解函数的定义域是的全体实数当时，导函数为令得：于是，点将函数定义