同济第六版高数答案(高等数学课后习题解答

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1、习题11-81.将下列各周期函数展开成傅里叶级数(下面给出函数在一个周期内的表达式):(1);解因为f(x)=1-x2为偶函数,所以bn=0(n=1,2,×××),而,(n=1,2,×××),由于f(x)在(-¥,+¥)内连续,所以,xÎ(-¥,+¥).(2);解,(n=1,2,×××),(n=1,2,×××).而在(-¥,+¥)上f(x)的间断点为x=2k,,k=0,±1,±2,×××,故(x¹2k,,k=0,±1,±2,×××).(3).解,(n=1,2,×××),(n=1,2,×××),而在(-¥,+¥)上,f(x)的间断

2、点为x=3(2k+1),k=0,±1,±2,×××,故,(x¹3(2k+1),k=0,±1,±2,×××).2.将下列函数分别展开成正弦级数和余弦级数:(1);解正弦级数:对f(x)进行奇延拓,则函数的傅氏系数为a0=0(n=0,1,2,×××),(n=1,2,×××)故,xÎ[0,l].余弦级数:对f(x)进行偶延拓,则函数的傅氏系数为,(n=1,2,×××)bn=0(n=1,2,×××),故,xÎ[0,l].(2)f(x)=x2(0£x£2).解正弦级数:对f(x)进行奇延拓,则函数的傅氏系数为a0=0(n=0,1,2,××

3、×),,故,xÎ[0,2).余弦级数:对f(x)进行偶延拓,则函数的傅氏系数为(n=1,2,×××),bn=0(n=1,2,×××),故,xÎ[0,2].总习题十一1.填空:(1)对级数,是它收敛的________条件,不是它收敛的________条件;解必要;充分.(2)部分和数列{sn}有界是正项级数收敛的________条件;解充分必要.(3)若级数绝对收敛,则级数必定________;若级数条件收敛,则级数必定________.解收敛;发散.2.判定下列级数的收敛性:(1);解因为,而调和级数发散,故由比较审敛法知,级数

4、发散.(2);解因为,故由比值审敛法知,级数发散.(3);解因为,所以由根值审敛法,级数收敛;由比较审敛法,级数收敛.(4);解因为,而调和级数发散,故由比较审敛法知,原级数发散.提示:(5)(a>0,s>0).解因为,故由根值审敛法知,当a<1时级数收敛,当a>1时级数发散.当a=1时,原级数成为,这是p=s的p-级数,当s>1时级数收敛,当s£1时级数发散.3.设正项级数和都收敛,证明级数与收敛.证明因为和都收敛,所以,.又因为,,所以级数和级数都收敛,从而级数也是收敛的.4.设级数收敛,且,问级数是否也收敛？试说明理由.解

5、级数不一定收敛.当和均为正项级数时,级数收敛,否则未必.例如级数收敛,但级数发散,并且有.5.讨论下列级数的绝对收敛性与条件收敛性:(1);解是p级数.故当p>1时级数是收敛的,当p£1时级数发散.因此当p>1时级数绝对收敛.当01时绝对收敛,当0

6、知级数发散,即原级数不是绝对收敛的.另一方面,级数是交错级数,且满足莱布尼茨定理的条件,所以该级数收敛,从而原级数条件收敛.(4).解令.因为,故由比值审敛法知级数收敛,从而原级数绝对收敛.6.求下列级限:(1);解显然是级数的前n项部分和.因为,所以由根值审敛法,级数收敛,从而部分和数列{sn}收敛.因此.(2).解.显然是级数的前n项部分和.设,则.因为,所以,从而.7.求下列幂级数的收敛域:(1);解,所以收敛半径为.因为当时,幂级数成为,是发散的;当时,幂级数成为,是收敛的,所以幂级数的收敛域为.(2);解,因为,由根值

7、审敛法,当e

8、x

9、<1,即时,幂级数收敛;当e

10、x

11、>1,时幂级数发散.当时,幂级数成为;当时,幂级数成为.因为,所以,因此级数和均发散,从而收敛域为.(3);解un=n(x+1)n.因为,根据比值审敛法,当

12、x+1

13、<1,即-2

14、x+1

15、>1时,幂级数发散.又当x=0时,幂级数成为,是发散的;当x=-2时,幂级数成为,也是发散的,所以幂级数的收敛域为(-2,0).(4).解.因为,根据比值审敛法,当,即时,幂级数收敛;当时,幂级数发散.又当时,幂级数成为,是发散的,所以收敛域为.8.求下列幂级数的和函

16、数:(1);解设幂级数的和函数为S(x),则,即.(2);解设幂级数的和函数为S(x),则.因为当x=±1时,幂级数收敛,所以有S(x)=arctanx(-1£x£1).(3);解设幂级数的和函数为S(x),则,即.(4).解易知幂级数的收敛域为[-1,1].设