同济第六版高数答案(高等数学课后习题解答)..doc

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1、习题3-31.按(x-4)的幂展开多项式x4-5x3+x2-3x+4.解设f(x)=x4-5x3+x2-3x+4.因为f(4)=-56,f¢(4)=(4x3-15x2+2x-3)

2、x=4=21,f¢¢(4)=(12x2-30x+2)

3、x=4=74,f¢¢¢(4)=(24x-30)

4、x=4=66,f(4)(4)=24,所以=-56+21(x-4)+37(x-4)2+11(x-4)3+(x-4)4.2.应用麦克劳林公式,按x幂展开函数f(x)=(x2-3x+1)3.解因为f¢(x)=3(x2-3x+1)2(2x-3),f¢¢(x)

5、=6(x2-3x+1)(2x-3)2+6(x2-3x+1)2=30(x2-3x+1)(x2-3x+2),f¢¢¢(x)=30(2x-3)(x2-3x+2)+30(x2-3x+1)(2x-3)=30(2x-3)(2x2-6x+3),f(4)(x)=60(2x2-6x+3)+30(2x-3)(4x-6)=360(x2-3x+2),f(5)(x)=360(2x-3),f(6)(x)=720;f(0)=1,f¢(0)=-9,f¢¢(0)=60,f¢¢¢(0)=-270,f(4)(0)=720,f(5)(0)=-1080,f(6)(0)

6、=720,所以=1-9x+30x3-45x3+30x4-9x5+x6.3.求函数按(x-4)的幂展开的带有拉格朗日型余项的3阶泰勒公式.解因为,,,,,所以(0

7、1)(-2)x-3,×××,;(k=1,2,×××,n),所以(0

8、求函数f(x)=xex的带有佩亚诺型余项的n阶麦克劳林公式.解因为f¢(x)=ex+xex,f¢¢(x)=ex+ex+xex=2ex+xex,f¢¢¢(x)=2ex+ex+xex=3ex+xex,×××,f(n)(x)=nex+xex;f(k)(0)=k(k=1,2,×××,n),所以.8.验证当时,按公式计算ex的近似值时,所产生的误差小于0.01,并求的近似值,使误差小于0.01.解因为公式右端为ex的三阶麦克劳林公式,其余项为,所以当时，按公式计算ex的误差..9.应用三阶泰勒公式求下列各数的近似值,并估计误差:(1);

9、(2)sin18°.解(1)设,则f(x)在x0=27点展开成三阶泰勒公式为(x介于27与x之间).于是,其误差为.(2)已知(x介于0与x之间),所以sin18°,其误差为.10.利用泰勒公式求下列极限:(1);(2);(3).解(1).因为,,所以.(2).(3).习题3-41.判定函数f(x)=arctanx-x单调性.解因为,且仅当x=0时等号成立,所以f(x)在(-¥,+¥)内单调减少.2.判定函数f(x)=x+cosx(0£x£2p)的单调性.解因为f¢(x)=1-sinx³0,所以f(x)=x+cosx在[0,2

10、p]上单调增加.3.确定下列函数的单调区间:(1)y=2x3-6x2-18x-7;(2)(x>0);(3);(4);(5)y=(x-1)(x+1)3;(6);(7)y=xne-x(n>0,x³0);(8)y=x+

11、sin2x

12、.解(1)y¢=6x2-12x-18=6(x-3)(x+1)=0,令y¢=0得驻点x1=-1,x2=3.列表得x(-¥,-1)-1(-1,3)3(3,+¥)y¢+0-0+y↗↘↗可见函数在(-¥,-1]和[3,+¥)内单调增加,在[-1,3]内单调减少.(2),令y¢=0得驻点x1=2,x2=-2(舍去)

13、.因为当x>2时,y>0;当0