平面向量数量积的物理背景及其含义(1)

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1、2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义（第1课时）教材分析本节内容是必修4第二章第4节的第1课时，平面向量的数量积是继向量的加法，减法，数乘等线性运算之后又一新的运算，也是高中数学的一个重要概念，是前面知识的延续，又是学好后续知识的基础，起承上启下的作用．此外它在数学、物理等学科中的广泛应用．本节课的主要学习任务是通过物理中“功”的事例抽象出平面向量数量积的概念，在此基础上探究数量积的性质与运算律，使学生体会类比的思想方法，进一步培养学生的抽象概括和推理论证的能力．数量积的概念既有长度又有角度，既有形又有数，是

2、代数、几何与三角的最佳结合点，不仅应用广泛，而且很好的体现了数形结合的数学思想，使得数量积的概念成为本节课的核心概念，自然也是本节课教学的重点．课时分配本节内容用1课时的时间完成，主要探讨平面向量数量积的概念、性质及运算律．教学目标重点：平面向量数量积的概念，性质、运算律的发现与论证．难点：平面向量数量积的定义及运算率的理解，平面向量数量积的应用．知识点：平面向量数量积的概念，性质、运算律．能力点：通过对平面向量数量积性质及运算律的探究，培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力．教育点：通过本节课的学习，激发学生

3、学习数学的兴趣和善于发现、勇于探索的精神，体会学习的快乐，体会各学科之间是密不可分的．培养学生思考问题认真严谨的学习态度．自主探究点：有关向量数量积的性质及运算律的证明．考试点：①考查向量数量积运算；②有关向量夹角的计算；③应用向量解决垂直问题．易错易混点：向量的数量积与实数的乘法的区别．拓展点：向量在几何中证明垂直的应用．教具准备多媒体课件、直尺课堂模式学案导学一、创设情境、引入课题任意两个向量都可以进行加减运算，并且两个向量的和与差仍是一个向量，我们自然地会想到：两个向量是否可以进行乘法运算呢？如果能，其运算结

4、果是什么呢？思考：1．如右图，一个物体在力的作用下产生位移，且力与位移的夹角为，那么力所做的功是多少？结论：2．功是一个标量，它由力和位移两个向量所确定，数学上，我们把“功”称为向量与的“数量积”．一般地，对于非零向量与的数量积是指什么？7【设计意图】由旧知识引出新内容，同时联系物理学和数学，理解具体和一般的关系．二、探究新知1．平面向量数量积的定义已知两个非零向量与，我们把数量叫做与的数量积(innerproduct)（或内积），记作，即，其中是与的夹角．特别强调：两个向量，的数量积与代数中两个数的乘积是两码事，

5、但表面看来又有点相似，因此要注意两个向量与的数量积是记作，中间的实心小圆点不能省略，也不能把实心小圆点用乘号“×”代替，写成．思考1：对于两个非零向量与，其数量积是一个数量，那么它何时为正数？何时为负数？何时为零？结论：，当，即时，；当，即时，；当，即时，．思考2：零向量与任一向量的数量积是多少？结论：我们规定，零向量与任一向量的数量积为0．2．投影的定义对于两个非零向量与，设其夹角为，叫做向量在方向上的投影．如上图所示，，即有向线段的数量为．特别强调：向量的投影是一个数量．思考1：向量在方向上的投影一定是正数吗？

6、向量在方向上的投影是什么？结论：不一定是正数，其正负取决于，即的取值．向量在方向上的投影是．思考2：根据投影的概念，数量积的几何意义是什么？结论：数量积等于的长度与在方向上的投影的乘积，或等于的长度与在7方向上的投影的乘积．【设计意图】使学生从感性到理性去认知数量积的定义．通过对概念的认识、分析和探究，使学生加深理解，掌握相关的几何意义并加深对投影的认识．3．平面向量数量积的运算性质思考1：设与都是非零向量，若，则等于多少？反之成立吗？结论：思考2：当与同向时，等于什么？当与反向时，等于什么？特别地，等于什么？结论

7、：当与同向时，；当与反向时，；，所以．通常记作．思考3：设与都是非零向量，如何计算它们的夹角？结论：由可得，再结合可求出．思考4：与的大小关系如何？为什么？结论：，因为，所以【设计意图】通过上述4个思考，在学生讨论交流的基础上，由教师进一步明晰数量积的性质，然后再由学生利用数量积的定义给予证明，完成探究活动．这样设计体现了教师只是教学活动的引领者，而学生才是学习活动的主体，让学生成为学习的研究者，不断地体验到成功的喜悦，激发学生参与学习活动的热情．4．平面向量数量积的运算律①发现数量积的运算律教师引导学生回顾实数运

8、算中有关的运算律，并类比得出数量积的运算律，体会不同运算的运算律不尽相同，然后由学生自主完成下列表格：在实数运算中在向量运算中是否正确交换律(1)（）结合律(2)（）(3)（）分配率(4)（）消去律(5)（）【设计意图】通过类比、探究使学生得到数量积的运算律，进一步培养学生的逻辑思维和探究问题的能力．答案：(1)√；(2)×；(3)√；(4)√；(5)×．对