不定积分习题课-带解答

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1、第四章不定积分习题课1．原函数若，则称为的一个原函数．若是的一个原函数，则的所有原函数都可表示为．2．不定积分的带有任意常数项的原函数叫做的不定积分，记作．若是的一个原函数，则，3．基本性质1），或；2），或；3）；4），（，常数）．4．基本积分公式（20个）原函数与不定积分是本章的两个基本概念，也是积分学中的两个重要概念。不定积分的运算是积分学中最重要、最基本的运算之一．5.例题例1　已知的一个原函数是，求．解　，．.11.例2　设，求．解　积分运算与微分运算互为逆运算，所以．例3　若的一个原函数是，求．解　因为是的原函数

2、，故，所以．例4　求不定积分．解　被积函数为两个指数函数的乘积，用指数函数的性质，将其统一化为一个指数函数，然后积分．即．例5　求不定积分．解　利用求导运算与积分运算的互逆性，得．例6　求不定积分．解　先用幂函数的性质化简被积函数，然后积分．．.11.例7　求不定积分．解　分子分母都是三次多项式函数，被积函数为假分式，先分解为多项式与真分式的和，再积分，也即．例8　求不定积分．解　用三角恒等式将被积函数变形，然后积分．．例9　求不定积分．解　用三角恒等式将被积函数统一化为的函数，再积分．．例10　求不定积分．解　．.11.例

3、11　求不定积分．解　类似于例10，拆项后再积分．例12　一连续曲线过点，且在任一点处的切线斜率等于，求该曲线的方程．解　设曲线方程为，则，积分得．（曲线连续，过点，故）将代入，得，解出．所以，曲线方程为．例13　判断下列计算结果是否正确1）；2）．解　1），所以计算结果正确．2），计算结果不正确，即．.11.以下积分都要用到“凑微分”．请仿照示例完成其余等式1）时，．2）．3）4）5），时，6）时，7）8）9）10）11）例14　求．解　．.11.注由于被积函数中含有，表明，故．例15　求下列不定积分1）；　　2）．解　1

4、）　(请注意加1、减1的技巧)　．2）．例16　设，不求出，试计算不定积分．解（将看作变量）．例17　设，求．解　先凑微分，然后利用写出计算结果．即.11.．例18　计算不定积分．【提示】分母中有时，考虑用“倒代换”．解　设，则，．例19　求不定积分．解　．分部积分．目的，使公式右边的积分要比左边的积分容易计算，关键在于正确地选取和凑出．.11.例20　求不定积分．解一　这是一道综合题，先作变量代换，再分部积分．令，则，，　　　　　　　　　　　　　．解二　先凑微分，再代换，最后分部积分，即　　　　　　．例21　已知的一个原函

5、数是，求．【提示】不必求出，直接运用分部积分公式．解　由已知条件，，且，故.11.．例22　设，求．解　先求出的表达式．设，则，　　　　　,所以．例23　求不定积分．解　将分子凑成，把分式化为多项式与真分式的和；再将真分式化为最简分式的和，，于是.11.．例24求不定积分．解（换元，令）．例25　求不定积分．解　．例26求不定积分．解　为同时去掉三个根式，设，则，，.11.　　．.11.