《练习与习题解答》word版

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1、练习4.11.函数在区间上是否满足罗尔定理的所有条件？若满足，求出使定理结论成立的值.解：是初等函数。在其有意义的区间内连续，所以在上连续。又在内存在，在内可导,而因此在上满足罗尔定理所有条件。故有得.2.函数与在上是否满足柯西中值定理的条件？若满足，求出使定理结论成立的值.解：与在上连续，在内可导，且，所以与在上满足柯西中值定理的条件，故在内至少存在一点，使，即，.3.证明方程在上存在一个实根.证明：令，由。既方程。若方程则在上连续，在内可导，所以在上满足罗尔定理条件，故至少存在一点使得,但，矛盾

2、,因此方程在上存在一个实根。4.证明方程只有一个正根.证明：令，则在上连续，且，，由。既方程在至少有一个正根。若方程还有另外一个正根，.则在上连续，在内可导，所以在上满足罗尔定理条件，故至少存在一点使得,但，矛盾,因此方程只有一个正根。5.已知函数，不求的导数，试讨论方程。解：在内连续、可导，且。由罗尔定理知至少存在，使得即方程。又方程=0为三次方程，故它至多有三个实根。因此方程=0有且仅有三个实根，它们分别在区间。6.利用拉格朗日中值定理证明下列不等式：(1)证：若,显然成立；，不妨设令，易得。所

3、以在内至少存在一点，使得即于是，所以对于，同理可证。故（2）若则证：若显然等号成立；若，设，易得上满足拉格朗日中值定理条件，所以在内至少存在一点，使得即.由，有，于是.所以.故若，有.（3）若,则.证：令易得在（）上满足拉格朗日中值定理条件，所以在内至少存在一点，使得，即.因为，所以，于是得而，所以.（4）若，则.证：令易得在上满足拉格朗日中值定理条件，所以在内至少存在一点，使得,即又因为，所以，，由此，即故若，则.7.证明恒等式：.证：令因为，所以。取.因此.练习4.21.求下列函数的极限（1）解

4、：===1（2）解：（3）解：（4）解：（5）解：==（6）解：==（7）解：===1（8）解：====（9）解：====1（10）解=====1（4）解：===（5）解：====（6）解：===（7）解：===（8）解：==，而=====0所以（9）解：而=所以2.验证极限存在，但不能用洛必达法则得出.解：==1+而，，由有界函数与无穷小的积仍是无穷小知：故=1.若用洛必达法则得：=，此极限不存在，且不为，不满足洛必达法则条件（3），所以不能用洛必达法则得出.3.验证极限存在，但不能用洛必达法则得

5、出.解：==0若用洛必达法则得：==2，这种解法是错误的，因为并不是型，也不是型，所以不能用洛必达法则得出.练习4.31．求下列函数的单调区间（1）解：令=0得0的单调增区间为，单调减区间为。（2）解：令得舍去10的单调减少区间为，单调增加区间为。2.证明下列不等式（1）当时，；证：令，则，由于，所以在内单调增加，于是当时，有，即，.（2）当时，；证：令，则，由于=当时，，因此，所以在内单调增加，于是当时，有，即，（3）当时，；证：令，==当时，，又设=所以内单调增加，于是有.故，于是当时，，即，.

6、（2）当时，.分析：不等式两边取对数得：，即.证：令（3），所以在内单调增加，于是当时，，而，所以，，.3.证明方程有且仅有一实根。证：设则在内连续因为且仅在处取等号，即不在任何区间内恒等与0，所以在内单调增加。于是在内最多有一个实根。又而在内连续，所以在内至少有一个实根。故方程有且仅有一个实根。4.求下了函数的极值（1）解：令得到，无使不存在的点。，所以在处有极大值在处有极小值（2）解：时不存在，无驻点。1不存在极大值在处有极大值5.求下列函数在指定区间上的最大值和最小值（1）解：，令，得，无使不

7、存在的点。函数在驻点和端点的函数值分别为：，，，.经比较可知，在上的最大值为，最小值为.（2）解：，令，得，无使不存在的点。函数在驻点和端点的函数值分别为：，，，.经比较可知，在上的最大值为，最小值为.6.一工厂与铁路的垂直距离为20公里，它的垂足到火车站的铁路长为100公里，工厂的产品需经过火车站才能转销外地，为使运费最省，准备在铁路上选定一点向工厂修筑一条公路。已知铁路每公里货运的运费与公路上每公里货运的运费之比为.为了使产品从工厂运到火车站的运费最省，问点应离火车站多少公里？解：如图，已知公里

8、，公里，设公里，那么公里，，已知铁路每公里货运的运费与公路上每公里货运（第6题）的运费之比为.不妨设铁路每公里货运的运费为，公路上每公里货运的运费.设从工厂到火车站的总运费为，则.，令，得唯一驻点.而，，，经比较知公里时，总运费最省，此时点离火车站的距离公里。6.求抛物线的切线与两条坐标轴所围成的三角形的面积的最小值。解：如图，设点为抛物线上任意一点，则.抛物线在点的斜率为.切线方程为，令，得.令，得.（第7题）即过点的切线在两坐标轴上的截距分别为..于是三角形的面积