高数红宝书——第八章常微分方程

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1、2009智轩考研数学创高分红宝书系列---高等数学第八章常微分方程与差分方程2008考试内容常微分方程的基本概念变量可分离的微分方程齐次微分方程一阶线性微分方程伯努利（Bernoulli）方程全微分方程可用简单的变量代换求解的某些微分方程可降阶的高阶微分方程线性微分方程解的性质及解的结构定理二阶常系数齐次线性微分方程高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程简单的二阶常系数非齐次线性微分方程欧拉（Euler）方程微分方程的简单应用2008考试要求1.了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念。2.掌握变量可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法。3.会解齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程，

2、会用简单的变量代换解某些微分方程。4.会用降阶法解下列形式的微分方程：。5.理解线性微分方程解的性质及解的结构。6.掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程。7.会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程。8.会解欧拉方程。9.会用微分方程解决一些简单的应用问题。2008差分方程考试内容（数学3专题）差分与差分方程的概念差分方程的通解与特解一阶常系数线性差分方程差分方程的简单应用2008差分方程考试要求（数学3专题）1．了解差分与差分方程及其通解与特解等概念。2．掌握变一阶常系数线性差分方程的求解方法。

3、3．会用差分方程求解简单经济应用问题。第一节常微分方程一．微分方程的解的结构与性质1.1微分方程的形式：一般形式：标准形式：评注注意上述形式中的及其各阶导数只是一次项，这是因为我们研究的是线性（特征是：只含及其各阶导数得的一次项，否则，就是非线性方程范畴了，3432009智轩考研数学创高分红宝书系列---高等数学当然对一阶微分方程可能有例外：如伯努利方程等。）微分方程类型，微分方程的阶次是指导数的最高阶次，另外，考点中，一般指常系数（只有一阶微分方程可以为非常系数）线性微分方程。1.2微分方程的特解与通解及其解的结构不含待定常数的解称为特解，如，含有待定常数的解称为通解，如。阶齐次微分方程有无

4、穷个特解，但只有个线形无关的特解，只要任意取个线形无关的特解的线形叠加就是原微分方程的通解。阶非齐次微分方程有无穷个特解，但只有个线形无关的特解，其中，对应的齐次方程有个线形无关的特解，线形叠加是该齐次方程的通解，另一个特解是属于阶非齐次微分方程，所以原非齐次微分方程的通解为。另外解有显式解和隐式解两种表述方式。研考范围内，一般对一阶微分方程的标准形式没有常系数限制，对二元和二元以上的高阶微分方程来说，标准形式或经过变换后的方程（如欧拉方程等）必须是常系数，一般只需要掌握2-3阶就可以了，而且，无论几阶常系数微分方程，它们对应的齐次方程的解法只有一个，即特征值法，它们的非齐次方程的特解一般都使

5、用微分算子法求得。评注一旦给定常系数齐次方程，就可以求出特征值；反过来，一旦知道了特征值，就可以确定该齐次方程的具体形式，如为实数，则齐次方程的特解形式必为指数项，如为纯虚数，则齐次方程的特解形式必为振荡项，如为复数，则齐次方程的特解形式必为，如果为重根，则特解必含幂因子。这一规律是求解该类题型的理论根据，切记。另外，无论什么样的线性常系数方程，特解形式不外乎“幂，指，弦，弦”特征。二．常数变易法常数变易法的思想是将通解中的待定常数换成变量后，再代入原方程求解。可以无条件求解一阶非齐次方程，也可以在一定条件下求高阶非齐次方程。2.1一阶非齐次方程的常数变易法①求对应齐次方程的通解②令代入原方程

6、3432009智轩考研数学创高分红宝书系列---高等数学③解得④原方程的解：【例1】求微分方程的特解。解：原方程变形为2.2二阶非齐次方程的常数变易法2.2.1已知或必须能容易求出的两个特解，否则不能利用常数变易法①令代入原方程②解得③原方程的解：【例2】求的通解。解：容易观察原方程对应的齐次方程有两个特解令原方程的解为代入原方程，可得通解3432009智轩考研数学创高分红宝书系列---高等数学2.2.2已知或必须能观察求出的一个特解，令代入原方程，可求出通解。【例3】求的通解解：容易观察原方程对应的齐次方程有一个特解令代入原方程，得评注也可以这么做：如容易观察出一个特解则令另一特解为代入原方

7、程三．各类研考中所考微分方程的5大题型1．及其伯努利方程；有定势求解方法；2．；属于缺型，有定势求解方法；3．；属于缺型，有定势求解方法；3432009智轩考研数学创高分红宝书系列---高等数学4．，涉及的题型比较灵活；后面有系统研究。5．；有定势求解方法。四．微分算子法求非齐次方程的特解形如令，则的求法规则①②③例如：再根据或求得展开项的个数由多项式的最高次幂决定，参见【例4】。④3432009