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1、第七章级数7.1常数项级数的概念与性质7.1.1常数项级数的概念常数项级数：一般的，设给定数列则该数列所有项相加所得的表达式叫做（常数项）无穷级数，简称（常数项）级数；其中第n项叫做级数的一般项或通项。级数简记为：，即部分和：作（常数项）级数的前项的和，称为级数（1）的前项部分和。当依次取1，2，3，…时，它们构成一个新的数列，称为部分和数列。级数收敛与发散：如果级数的部分和数列有极限，即（有限值），则称无穷级数收敛，极限叫做该级数的和，并写成。如果没有极限（不存在或为），则称无穷级数发散。常用级数：（1）等比级数（几何级数）：（2）级数:级
2、数的基本性质：性质1：若级数收敛于和，则级数（是常数）也收敛，且其和为。性质2：若级数和级数分别收敛于和、，则级数也收敛，且其和为。注意：如果级数和都发散，则级数可能收敛也可能发散；而如果两个级数和中有且只有一个收敛，则一定发散。性质3：在级数中去掉、加上或改变有限项，不会改变级数的敛散性。性质4：若级数收敛，则对该级数的项任意加括号后所构成的新的级数仍收敛，且其和不变。注意：该性质的逆命题不成立。即，若一个级数加括号后的新级数收敛，则不能推出原级数收敛。推论1：若加括号后所成的级数发散，则原来级数也发散。性质5：若级数收敛，则。注意：仅仅是
3、级数收敛的必要条件，而非充分条件。7.1常数项级数的审敛法7.2.1正项级数收敛的充要条件正项级数：若，则称级数是正项级数。正项级数收敛的充分必要条件：它的部分和数列有界（有上界）。7.2.2正项级数的审敛法比较审敛法：设和都是正项级数，且。则⑴若级数收敛，则级数收敛；⑵若级数发散，则级数发散；推论：设和都是正项级数，如果级数收敛，且存在正整数，使得当时有成立，则级数收敛；如果级数发散，且当时有成立，则级数发散。比较审敛法的极限形式：设和均为正项级数，，那么⑴若，级数和同时收敛或同时发散⑵若，且级数收敛，则级数收敛⑶若，且级数发散，则级数发散
4、比值审敛法：设为正项级数，如果则(1)时，级数收敛；(2)时，级数发散；(3)时，级数可能收敛也可能发散。根值审敛法、极限审敛法不考。7.2.3交错级数及其判别法莱布尼茨判别法：如果交错级数满足条件：⑴⑵则级数收敛，且其和满足，余项的绝对值满足。注意：莱布尼茨定理只是交错级数收敛的一个充分条件，并非必要条件。当定理中的两个条件不满足时，不能由此判断交错级数是发散的。7.2.4任意项级数的绝对收敛与条件收敛任意项级数：对于一般的常数项级数，其中为任意实数，可以是正数、负数或0，这种级数又称为任意项级数。对应地，可以构造一个正项级数。绝对收敛判别
5、法：定理：若级数收敛，则级数收敛。（绝对收敛的级数必收敛。）定义：设为任意项级数，⑴如果级数收敛，则称级数绝对收敛⑵如果级数发散，但是级数收敛，则称级数条件收敛。对于任意项级数敛散性的判别方法：对于任意项级数，通常先判断它是否绝对收敛，若是，即可得出结论；若否，则进一步判定它是条件收敛还是发散。对于任意项级数的比值审敛法：对任意项级数，设则(1)若时，则绝对收敛，因而收敛；(2)若时，则发散；(3)若时，此法失效。7.3幂级数7.3.2幂级数及其收敛性幂级数：形如的级数，称为幂级数，其中是任意给定的实数，称为幂级数的系数。当时，上式变为。收敛
6、半径与收敛域：阿贝尔定理：设幂级数=，若该幂级数在处收敛,则对于满足条件的一切,该级数绝对收敛。反之,若它在时发散,则对一切适合不等式的,该级数发散。推论:如果幂级数不是在上每一点都收敛,也不是只在处收敛,那么必存在一个唯一的正数R,使得:(1)当时,幂级数收敛;(2)当时,幂级数发散;(3)当或时,幂级数可能收敛,也可能发散。则称这个数为幂级数的收敛半径，称区间为幂级数的收敛区间，幂级数在收敛区间内绝对收敛。由幂级数在处的收敛性就可以决定它在区间或上收敛,该区间叫做幂级数的收敛域。（收敛域为收敛区间加上收敛的端点，是幂级数的所有收敛点组成的
7、集合）和函数：对于收敛域内的任意一个数，幂级数为该收敛域内的一个收敛的常数项级数，于是有一个确定的和.这样，在收敛域上，随着数的变化，总有一个确定的和与之对应，故幂级数的和是的函数，记为，通常称为幂级数的和函数。收敛半径的求法：设幂级数,其系数当时(为某一个正整数),且存在极限则(1)当时,收敛半径;(2)当时,收敛半径;(3)当时,收敛半径。7.3.3幂级数的性质加法与减法（收敛性）:设幂级数和的收敛半径分别为和(均为正数),取,则在区间内成立：=幂级数的和函数的性质：设幂级数在内收敛，且其和函数为,则（1）和函数的连续性：在内连续.若幂级
8、数在(或)也收敛,则在处左连续(或在处右连续).（2）逐项求导数：在内每一点都是可导的,且有逐项求导公式:求导后的幂级数与原幂级数有相同的收敛半径。反复应用该结论可
