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1、桂祖华微积分三定理(第一定理-桂氏积分定理) (2013-10-0316:53:28)桂祖华微积分三定理 “桂祖华微积分三定理”分别是指“第一定理-桂氏积分定理”;“第二定理-桂氏多中心泰勒定理”;“第三定理-桂氏多中心牛顿定理”。这些全新的微积分理论全面改写了300多年来被世界数学界视为经典的微积分理论,是本人埋头数学研究数十年所究取得的重大理论突破,必将极大地推动现代数学基础理论的新发展。第一定理 桂氏积分定理1 已知结果牛顿--莱布尼兹定理(即微积分基本定理) 设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,
2、则∫ab f(x)dx=F(b)-F(a),其中F(x)是函数f(x)的任意一个原函数.2 问题提出 如何去寻找上述原函数F(x)的新方法?3 负导函数(1)可导函数列 设函数列{Fn(x)}(n=1,2,3,…)在闭区间[a,b]上满足如下三个条件:(i)Fn(x)可导 (可导性).(ii)dFn(x) /dx=Fn’(x)=Fn+1(x) (递推性).(iii)所有Fn(x)只变动足标n,不变动变量x,它们都有相同的函数形式(不变形式性),{Fn(x)}(n=1,2,3,…)称为可导函数列.(2) n阶原函数
3、 设两个函数f(x)和F(x)在区间D(x)={x
4、
5、X0
6、<δ, X0≡x-x0 }上满足dnF(x)/dxn =f(x)(n=1,2,…),函数f(x)称为函数F(x)的n阶导函数(或导数);函数F(x)称为函数f(x)的n阶原函数.当n=1时, 函数f(x)和函数F(x)分别称为F(x)的导函数和f(x)的原函数.(3) k阶负导函数 设函数{f(n)(x)} (n=1,2,3,…)可导函数列,令f(-k)(x)(k=1, 2, 3,…)为k阶负导函数.(4) 任意阶负导函数的存在性 一般情况下(如初等函数),函
7、数f(x)在区间D(x)={x
8、
9、X0
10、<δ}上具有任意阶导函数,则存在可导的任意阶负导函数(5) 负导函数定理 设可导函数列{f(n)(x)}(n=1,2,3,…), f(-1)(x)可导,且f(0)(x)=f(x)时,则函数f(x) 的一阶负导函数(简称负导数)f(-1)(x)与函数f(x) 的任意原函数F(x)相差一个常数.(6) 负导函数一例 设f(x)=xe -x ,计算可得 f(n)(x)=(-1)n+1(n-x)e -x ,{f(n)(x)}为可导函数列,f (-1)(x)=-(1+x)e -x可导,f
11、(0)(x)=(-1)1(-x)e -x =f(x).(7) 特殊原函数 寻找函数f(x)的一阶负导函数f(-1)(x)与通常的原函数F(x)的求法是完全不同的方法.相对来说,前者方法要比后者有时是更为容易,新方法是简单的、直接的、有效的和别具一格的,由此我们可以得到许多有趣的应用.(8)不定积分一例∫e ax cos(bx+c)dx=(a2+b2)-1/2 eax cos(bx+c-φ)+C,其中φ=arccos[a/(a2+b2)1/2]记f(x)=e ax cos(bx+c),可得f(n)(x)=(a2+b2)n
12、/2 e ax cos(bx+c+nφ), {f(n)(x)}为可导函数列,f (-1)(x)=(a2+b2)-1/2 eax cos(bx+c-φ)可导, f(0)(x)=f(x),(9) k阶负导函数 设可导函数列{f(n)(x)}(n=1,2,3,…),则函数f(x) 的可导k阶负导函数f(-k)(x)与函数f(x) 的任意k(=1, 2,3,…)阶原函数相差一个任意(k-1)次多项式;4 桂氏积分定理 设在闭区间[a,b]上的可导函数列{f(n)(x)}(n=1,2,3,…), f(-1)(x)可导,且f(0)
13、(x)=f(x)时,则 ∫a bf(x)dx=f (-1)(b)-f (-1)(a),(1) 定积分一例 取f(x)=sinx,f(n)(x)=sin(x+nπ/2), f (-1)(x)=sin(x-nπ/2)可导,f (0)(x)=sin(x-0·π/2)=sinx=f(x)∫a b sinxdx=sinx (-1)(x)
14、 a b =sin(x-π/2)
15、 a b =sin(b-π/2)-sin(a-π/2)=cosa-cosb(2)桂氏积分定理的推广 设在闭区间[a,b]上的{F(n)(x)}为可导函数列,即F
16、n’(x)=Fn+1(x)(n=k-h-1,k-h,…), Fk-h-1 (x)在闭区间[a,b]内具有(h+1)阶导函数,则∫a bdx∫a xdx…∫ax Fk (x)dx=Fk-h-1 (b)-∑i=0 h Fk-h-1+i (a)(b-a)i /i![(h+1)个积分记号].特别地,当Fn (x)=f (n)(x);k=0
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