弹性力学理论基础的建立者

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1、弹性力学理论基础的建立者柯西之前的研究18世纪，理性力学迅速发展，成为微积分学应用的一个特殊领域．1788年，拉格朗日的《分析力学》(Mécaniqueanalytique)出版．书中不借助几何图形，只从虚位移原理出发推导出全部质点系力学．W．R．哈密顿(Hamilton)曾说这本书是“科学诗篇”．在1811年的增订第2版中，拉格朗日通过把固体或流体看成无穷多个质点组成的系统，进一步研究了连续固体和流体力学．在此之前，欧拉已建立了流体力学基本方程组．但在当时，固体力学还局限于不可变形的物体．19世纪初，数学家们开始研究弹性面的平衡和运动．S．热尔曼(Germain)

2、和泊松于1815年各自独立地得到了各向同性的可挠弹性表面的方程．稍后，C．L．M．H．纳维尔(Navier)于1820年向科学院递交了引人注目的论文，应用拉格朗日和J．B．J．傅里叶(Fourier)的分析方法，研究有负载的弹性板在不忽略其厚度时的微小变形．但他把由伸缩引起的弹性力与由弯曲引起的力完全分开，假定前者总沿它所作用的截面的法向，而这在一般情况下是不成立的．他于1821年写的论文，使用了分子模型，是弹性论中极富创造性的研究，但此文直到1827年才发表．当时应力和应变概念尚未建立，其特性更未得到数量刻画．由于未能把应力表示为变形的函数，连续介质力学的基本方程

3、难于应用到弹性体上。柯西于1822—1830年间发表的一系列论文，使用连续物质和应力-应变模型，成功地解决了这些问题．应力柯西把应力规定为由外力和物体变形等因素引起的物体内部单位面积截面上的内力．他认为，对物体内任一闭曲面S，在研究S的外部对内部的作用时，可以忽略物体各部分的相互体力，等价地用定义在S上的应力场来代替．这可使计算大为简化，并为实验证实．由于欧拉已有类似想法，所以现代称它为欧拉-柯西应力原理．对于物体中任一点P，柯西通过点P处三个分别平行于坐标面的截面上的应力来描述该点处任一截面上的应力．分射以σ，σxy，σxz(σyx，σyy，σyz；σzx，σzy

4、，σzz)表示点P处平行于yz(zx，xy)坐标面的截面上的应力的x，y，z分量，柯西得到点P处法向量方向余弦为vx，vy，vz的截面上应力σvy的分量为σvx=vxσxx＋vyσyx+vzσzx，σvy=vxσxy＋vyσyy＋vzσzy，σvz=vxσxz＋vyσyz＋vzσzz，现称为柯西斜面应力公式．由于σxy=σyx，σyz=σzy，σxz=σzx，9个量σxx，…，σzz中只有6个是独立的．用现代语言，这9个量构成一个2阶对称张量——应力张量．σvy沿截面法向的分量为在点P取所有可能的截面，沿法向取长度为σvn的向径，则其端点构成一个二次曲面，现称为柯西

5、应力二次曲面．在以此二次曲面三个互相垂直的轴为法向的截面上，应力垂直于截面．这就是柯西引入的主应力．以这3个轴作为坐标轴，应力矩阵成为对角矩阵．于是，求一点处的应力状态归结为求3个主应力．应变与几何方程柯西把应变规定为在外力作用下物体局部的相对变形．对于微小变形，他用类似于研究应力的方法研究一点处的应变状态，指出它可用6个分量εxx，εyy，εzz，εxy，εyz，εzx描绘，现称为柯西应变张量或小应变张量．设ξ，η，ρ分别为x，y，z方向的位移分量，他用略去高阶无穷小的方法得到反映应变与位移之间关系的几何方程对于应变，同样可构造应变二次曲面，建立主应变概念．应力与

6、应变之间的关系对于微小变形，柯西假定主应力分别沿主应变方向．起初他考虑各向同性情形，此时3个主应力与主应变成等比例，由此得到用ε线性表示σ或用σ线性表示ε的公式，其中有两个常数．后来他进而研究各向异性情形，此时用ε线性表示σ的公式中有34=81个分量即81个弹性常数．由对称性，他推出其中只有36个是独立的(文献[1]，(2)9，pp．342—372)．这些公式是胡克定律的推广，现在通称为广义胡克定律．弹性体运动和平衡方程在1828年关于弹性体与非弹性体内部运动和平衡的论文中，对各向同性物体内任何一点，柯西得到度，他还写出了非各向同性的弹性体的运动和平衡方程．总之，柯

7、西确定了应力和应力分量、应变和应变分量概念，建立了弹性力学的几何方程、运动和平衡方程、各向同性及各向异性材料的广义胡克规律，从而奠定了弹性力学的理论基础，成为19世纪继拉普拉斯之后法国数学物理学派最杰出的代表．多产的科学家柯西全集柯西是仅次于欧拉的多产数学家，发表论文800篇以上，其中纯数学约占65％，几乎涉及当时所有数学分支；数学物理(力学、光学、天文学)约占35％．1882年起，巴黎科学院开始出版《柯西全集》，把他的论文按所登载的期刊分类，同一种期刊上的则按发表时间顺序排列．《全集》凡27卷，分两个系列．第一系列共12卷，发行于1882—1911年，包括发表