定积分的概念(3)

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1、数学选修2-21.5定积分的概念第6页（共6页）选修2-21.5定积分的概念目标：理解求曲边梯形面积的过程：分割、以直代曲、逼近．通过实例，从问题情境中了解定积分的实际背景，借助几何直观体会定积分的基本思想，初步了解定积分的概念．重点：“以直代曲”和“以不变代变”的思想方法，定积分的概念，几何含义难点：“以直代曲”和“以不变代变”的思想方法，定积分的概念教学过程一、引入——平面图形面积测量方法1、生活中的求面积问题水田、梯田等生活中图形面积测量方法．问题：生活中如何度量这些图形的面积？2、几何中测

2、量平面图形面积的方法(1)长方形面积(2)三角形面积(3)圆的面积（其中r为圆的半径）(4)曲边多边形面积由直线x=a，x=b，y=0和曲线y=f(x)所围成的图形称为曲边梯形．如何计算曲边梯形的面积？数学选修2-21.5定积分的概念第6页（共6页）对精度要求不高的情况下，可以将此种图形分割成若干个小长方形和三角形，分别计算面积，然后求和即可．提出新问题：如何计算曲边梯形的准确面积？二、新课——定积分1、曲边梯形的面积问题：求由抛物线f(x)=与直线x=1，y=0所围成的平面图形的面积S．分析：考

3、虑将曲边梯形的面积转化为“直边图形”的面积．把区间[0，1]分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分成一些小曲边梯形．对每个小曲边梯形“以直代曲”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值，对这些近似值求和，就得到曲边梯形面积的近似值．可以想象，随着拆分越来越细，近似程度就会越来越好．也即：用化归为计算矩形面积和逼近的思想方法求出曲边梯形的面积．我们通过如下步骤来具体实施这种方法：（1）分割在区间[0，1]上等间隔地插入n－1个点，将区间等分成n个小区间：[0，]，[，]，

4、……，[，]，[，1]其中第i个区间为[，]（i=1，2，……，n），其长度为△x=－=．分别过上述n－1个分点作x轴的垂线，把曲边梯形分成n个小曲边梯形，它们的面积记作：△，△，……，△，△显然，S=.数学选修2-21.5定积分的概念第6页（共6页）（2）近似代替当n很大，即△x很小时，在区间[，]上，可以认为函数f(x)=的值变化很小，近似地等于一个常数，不妨认为它近似地等于左端点处的函数值f()．从图形上看，就是用平行于x轴的直线近似地代替小曲边梯形的曲边．这样，在区间[，]上，用小矩形的面

5、积△近似地代替△，即在局部小范围内“以直代曲”，则有△≈△=f()△x=×△x=（i=1，2，……，n）．数学选修2-21.5定积分的概念第6页（共6页）（3）求和图中阴影部分面积为=======从而得到S的近似值S≈=（4）取极限当n趋向于无穷大，即△x趋向于0时，=趋向于S，从而有S====即所求曲边梯形面积为．注：计算完毕后动画演示分割、近似代替、逼近的过程。思考：分割得到的小曲边梯形的高是否可以用区间[，]右端点的函数值代替？是否可以用此区间内任意一点处的函数值代替？可以证明：当[，]时，

6、都有S===数学选修2-21.5定积分的概念第6页（共6页）2、定积分的概念求曲边梯形面积的步骤：分割、近似代替、求和、取极限，此问题可以归结为求一个特定形式和的极限．S==一般的，我们有如果函数f(x)在区间[a，b]上连续，用分点a=<<……<<<……<=b将区间[a，b]分成n个小区间，在每个小区间[，]上任取一点(i=1，2，……，n)，作和式=，当n时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f（x）在区间[a，b]上的定积分，记作，即=，这里，a与b分别叫做积分下限和积分上限，区间[

7、a，b]叫做积分区间，函数f（x）叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式．根据定积分的概念，开篇问题中曲边梯形的面积S===3、定积分的几何含义从几何上看，如果在区间[a，b]上函数f(x)连续且恒有f(x)≥0，那么定积分表示直线x=a，x=b，y=0和曲线y=f(x)所围成的曲边梯形的面积，这就是定积分的几何意义．数学选修2-21.5定积分的概念第6页（共6页）思考：1、利用定积分的定义，计算下列定积分的值．（1）（2）2、由定积分的定义，可以得到定积分的如下性质：（1）=k(k

8、为常数)（2）（3）(其中a