多元函数的极限与连续20090102已修改最后-ok

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1、第十六章多元函数的极限与连续本章重点1．掌握二元函数的极限的定义，会求二元函数的极限，并能区分二元函数的二重极限和累次极限．3．熟练掌握二元函数连续性的定义，并能运用它判断二元函数的连续性．内容提要1．平面点集的基本概念坐标平面上满足某种条件的集合，称为平面点集．内点：若存在点的某邻域，使得，则称点是的内点．外点：若存在点的某邻域，使得，则称点是的外点．界点：若存在点的任何邻域既含有属于的点，又含有不属于的点，则称是的界点．聚点：若在点的任何空心邻域内都含有中的点，则称是的聚点．孤立点：，若点不

2、是的聚点，则称点是的孤立点．2．平面点集的基本定理柯西准则：平面点列收敛，正整数，当时，对一切正整数都有．闭域套定理：设是中的闭域列，它满足：（1），（2），，则存在惟一的点，．聚点定理：设为有界无限点集，则在中至少有一个聚点．3．元函数的概念设为中的点集，若有某个对应法则，使中每一点，都有唯一的一17个实数与之对应，则称为定义在上的元函数，记作，或，．4．多元函数的极限与累次极限定义设函数在以点为聚点的集合上有定义，若对于任何的，存在，使得只要及，有，则称当点趋于点时的极限为．特别，当函数为二

3、元函数时，该极限又记为，并称之为二重极限．若存在或存在，则称之为二次极限或累次极限．二重极限与累次极限关系：（1）两个累次极限都不存在，二重极限仍可能存在；（2）两个累次极限存在而不相等，二重极限必不存在；（3）两个累次极限存在且相等，但二重极限仍可能不存在．5．二元函数的连续性及性质定义2若在有定义且满足，则称在点连续．性质（1）有界性定理：若在有界闭区域上连续，则它在上有界，亦即存在正数，使在上恒有．（2）一致连续性定理：若在有界闭区域上连续，则它在上一致连续，亦即对，，使上任意两点，，当，

4、时恒有．（3）最大值最小值定理：若在有界闭区域上连续，则它在上必有最大值和最小值．（4）零点存在定理：设在区域内连续，并且在内两点和有，那么用完全位于内的任意折线联结和时，在上必有一点满足．典型例题分析例117指出下列点集的内点、界点、聚点，并说明是否是有界集、连通域、开区域、闭区域等．（1）；解任意点都是的界点；没有内点；轴上的点，轴上的点与都是的聚点；是有界集；不是开区域，不是闭区域，也不是连通区域．（2）或解如图1　　　　　　　　　　　　　y　　0　　　　x图1中除外任意点都是的内点；圆：

5、与的点和点都是的界点，中的点都是的聚点，是有界集，是单连通域，但既不是开区域（点不是的内点），也不是闭区域．例2已知，求．解设，，则，．所以，例3确定下列函数的定义域．（1）；（2）解（1）因为，所以．（2）因为，所以，即．因此17或例4的充要条件是：，．证明（）设，由条件可得，所以，，当时，有.显然，，所以，（）当，时，有，，当时，有；，当时，有．取当，有,．例5依定义验证．证明（取），为了使，而，所以只要，取，于是，满足与时，．即．例6计算极限．解注意到函数和在上连续，根据17极限的运算法则

6、得．例7计算极限．解注意到，就得．例8计算极限．解，而，由夹逼准则得例9计算极限．解令，，．例10设，证明　．证明令，．不妨令，则对，当时，因为，所以，因此．例11设，求在原点的两个累次极限．17解显然，所以．又有，所以．例12讨论下列函数在点的极限是否存在．（1）；（2）;（3）．解（1）由于，显然随变化而变化，所以不存在．（2）由于，，所以不存在．（3）由于，．所以不存在．例13（1）试举出两个累次极限不相等的例子；（2）试举出只有一个累次极限存在的例子；（3）试举出二重极限存在但累次极限不

7、全存在的例子．解（1）对于，有；又有．（2）对于在点，有；17而不存在．（3），在的二重极限存在为0，但仅存在一个累次极限．又如在的两个累次极限不存在，但二重极限存在且为0．例14证明　函数在上连续．证明设为上的任一点，由于．，取．当时，就有．所以在点连续，由于为上的任一点，所以在上连续．例15设试讨论它在点处的连续性．解设，则＝所以，当时，函数在点处连续，当时，函数在不连续．例16设是定义在上的实值连续函数，是任意实数，，，试证明是开集，是闭集．17证明，由局部保号性，，使当时，．故．这就证得

8、中任一点都是的内点，即为开集．同理可证也为开集，而，故必为闭集．如果或为空集，则按约定，结论亦成立．例17证明　点到非空集的距离函数，（）是连续函数．证明，由下确界定义，，使得．由三角不等式，对任何，恒有，，所以，所以，取，当时，有成立，所以在连续．因此，在处处连续．例18若函数分别对每个变量与都连续，并对是单调的，则函数是连续的．证明任取一点，设对单调增加，因为对、都连续，即，，，有或（16.1）,有与（16.2）对任意点，当与时，应用对单调增加性及（16.1）（16.2）有，，所以当，当，时