高中数学 第一章 计数原理 1.2 排列与组合 1.2.2 组合（第2课时）教案 新人教a版选修2-3

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1、1.2.2　组合第二课时教学目标　　　　　知识与技能了解组合数的性质，会利用组合数的性质简化组合数的运算；能把一些计数问题抽象为组合问题解决，会利用组合数公式及其性质求解计数问题．过程与方法通过具体实例，经历把具体事例抽象为组合问题，利用组合数公式求解的过程．情感、态度与价值观能运用组合要领分析简单的实际问题，提高分析问题的能力．重点难点　　　　　教学重点：组合数的性质、利用组合数公式和性质求解相关计数问题．教学难点：利用组合数公式和性质求解相关计数问题．提出问题1：判断下列问题哪个是排列问题，哪个是组合问题，并回顾排列和组合的区别和联系．(1)从A、B、C、D四个景点选出2个

2、进行游览；(2)从甲、乙、丙、丁四个学生中选出2个人担任班长和团支部书记．活动设计：教师提问．活动成果：(1)是组合问题，(2)是排列问题．1．组合的概念：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．2．组合与排列的区别和联系：(1)区别：①排列有顺序，组合无顺序．②相同的组合只需选出的元素相同，相同的排列则需选出的元素相同，并且选出元素的顺序相同．(2)联系：①都是从n个不同的元素中选出m(m≤n)个元素；②排列可以看成先组合再全排列．设计意图：复习组合的概念，检查学生的掌握情况．提出问题2：利用上节课所学组合数公式，完

3、成下列两个练习：练习1：求证：C＝C.(本式也可变形为：mC＝nC)练习2：计算：①C和C；②C－C与C；③C＋C.活动设计：学生板演．活动成果：练习2答案：①120,120　②20,20　③792.1．组合数的概念：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数．用符号C表示．2．组合数的公式：C＝＝或C＝(n，m∈N，且m≤n)．设计意图：复习组合数公式，为得到组合数的性质打下基础．提出问题1：由问题2练习中所求的几个组合数，你有没有发现一些规律，能不能总结并证明一下？活动设计：小组交流后请不同的同学总结补充．活动成果

4、：1．性质：(1)C＝C；(2)C＝C＋C.2．证明：(1)∵C＝＝，又C＝，∴C＝C.(2)C＋C＝＋＝＝＝＝C，∴C＝C＋C.设计意图：引导学生自己推导出组合数的两个性质．类型一：组合数的性质1(1)计算：C＋C＋C＋C；(2)求证：C＝C＋2C＋C.(1)解：原式＝C＋C＋C＝C＋C＝C＝C＝210；(2)证明：右边＝(C＋C)＋(C＋C)＝C＋C＝C＝左边．【巩固练习】求证：C＋2C＋3C＋…＋nC＝n2n－1.证明：左边＝C＋2C＋3C＋…＋nC＝CC＋CC＋CC＋…＋CC，其中CC可表示先在n个元素里选i个，再从i个元素里选一个的组合数．设某班有n个同学，选出若干人

5、(至少1人)组成兴趣小组，并指定一人为组长．把这种选法按取到的人数i分类(i＝1,2，…，n)，则选法总数即为原式左边．现换一种选法，先选组长，有n种选法，再决定剩下的n－1人是否参加，每人都有两种可能，所以组员的选法有2n－1种，所以选法总数为n2n－1种．显然，两种选法是一致的，故左边＝右边，等式成立．【变练演编】求证：C＋22C＋32C＋…＋n2C＝n(n＋1)2n－2.证明：由于i2C＝CCC可表示先在n个元素里选i个，再从i个元素里选两个(可重复)的组合数，所以原式左端可看成在上题中指定一人为组长的基础上，再指定一人为副组长(可兼职)的组合数．对原式右端我们可分为组长

6、和副组长是否是同一个人两种情况．若组长和副组长是同一个人，则有n2n－1种选法；若组长和副组长不是同一个人，则有n(n－1)2n－2种选法．∴共有n2n－1＋n(n－1)2n－2＝n(n＋1)2n－2种选法．显然，两种选法是一致的，故左边＝右边，等式成立．类型二：有约束条件的组合问题2在100件产品中，有98件合格品，2件次品．从这100件产品中任意抽出3件．(1)有多少种不同的抽法？(2)抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种？(3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种？解：(1)所求的不同抽法的种数，就是从100件产品中取出3件的组合数，所以共有C＝＝161700

7、种．(2)从2件次品中抽出1件次品的抽法有C种，从98件合格品中抽出2件合格品的抽法有C种，因此抽出的3件中恰好有1件次品的抽法有C×C＝9506种．(3)解法1　从100件产品抽出的3件中至少有1件是次品，包括有1件次品和有2件次品两种情况．在第(2)小题中已求得其中1件是次品的抽法有C×C种，因此根据分类加法计数原理，抽出的3件中至少有一件是次品的抽法有C×C＋C×C＝9604种．解法2抽出的3件产品中至少有1件是次品的抽法的种数，也就是从100件中抽出3件的抽法种数减去3件中都是合格品