高中数学 第7章 解析几何初步 7.3 圆与方程教案 湘教版必修3

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1、圆与方程一、复习目标：圆与方程了解确定圆的几何要素（圆心和半径、不在同一直线上的三个点等）.掌握圆的标准方程与一般方程，能根据问题的条件选择恰当的形式求圆的方程；理解圆的标准方程与一般方程之间的关系，会进行互化.能根据直线与圆的方程判断其位置关系（相交、相切、相离）；能根据圆的方程判断圆与圆的位置关系（外离、外切、相交、内切、内含）.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题.用代数方法处理几何问题的思想体会用代数方法处理几何问题的思想，感受“形”与“数”的对立和统一；初步掌握数形结合的思想方法在研究数学问题中的应用.二、复习重

2、难点：圆的标准方程和一般方程三、高考内容及要求：内容要求ABC平面解析几何初步圆的标准方程和一般方程√直线与圆、圆与圆的位置关系√四、知识回顾：1、圆的方程：⑴标准方程：⑵一般方程：.2、两圆位置关系：⑴外离：；⑵外切：；⑶相交：；⑷内切：；⑸内含：.五、课堂教学：问题导学一：我们在解决直线和圆相切时应注意哪些要点？例1、基础训练：求以为圆心，并且与直线相切的圆的方程.探究1：过坐标原点且与圆相切的直线的方程为解：设直线方程为，即.∵圆方程可化为，∴圆心为（2，-1），半径为.依题意有，解得或，∴直线方程为或.探究2：已知

3、直线与圆相切，则的值为.解：∵圆的圆心为（1，0），半径为1，∴，解得或.练习巩固：求经过点，且与直线和都相切的圆的方程.解：设所求圆的方程为，则，解得或，∴圆的方程为或.问题导学二：直线被圆所截弦长的处理策略是什么?关键是借助圆的什么性质？例2、基础训练：求直线被圆截得的弦的长.探究1：直线截圆得的劣弧所对的圆心角为解：依题意得，弦心距，故弦长，从而△OAB是等边三角形，故截得的劣弧所对的圆心角为.探究2：设直线与圆相交于、两点，且弦的长为，则.解：由弦心距、半弦长、半径构成直角三角形，得，解得.练习巩固：已知圆，直线.

4、（1）求证：不论取什么实数，直线与圆恒交于两点；（2）求直线被圆截得的弦长最小时的方程.解：（1）∵直线恒过定点，且，∴点在圆内，∴直线与圆恒交于两点.（2）由平面几何性质可知，当过圆内的定点的直线垂直于时，直线被圆截得的弦长最小，此时，∴所求直线的方程为即.问题导学三：如何判断直线与圆的位置关系？例3、基础训练：已知直线和圆，判断此直线与已知圆的位置关系.探究1：直线与圆没有公共点，则的取值范围是解：依题意有，解得.∵，∴.探究2：若直线与圆有两个不同的交点，则的取值范围是.解：依题意有，解得，∴的取值范围是.练习巩固：

5、若直线与曲线有且只有一个公共点，求实数的取值范围.解：∵曲线表示半圆，∴利用数形结合法，可得实数的取值范围是或.问题导学四：圆与圆位置关系如何确定？例4、基础训练：判断圆与圆的位置关系，并画出图形.探究1：圆和圆的位置关系是解：∵圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径，∴.∵，∴两圆相交.探究2：若圆与圆相切，则实数的取值集合是.解：∵圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径，且两圆相切，∴或，∴或，解得或，或或，∴实数的取值集合是.练习巩固：求与圆外切于点，且半径为的圆的方程.解：设所求圆的圆心为，则所求圆的方程为.∵两圆外切于点

6、，∴，∴，∴，∴所求圆的方程为.问题导学五：和圆相关的最值有哪些解决途径，体现那些思想方法？例5、基础训练：已知点，点在圆上运动，求的最大值和最小值.探究1：圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是解：∵圆的圆心为（2，2），半径，∴圆心到直线的距离，∴直线与圆相离，∴圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是.探究2：已知，，点在圆上运动，则的最小值是.解：设，则.设圆心为，则，∴的最小值为.练习巩固：已知点在圆上运动.（1）求的最大值与最小值；（2）求的最大值与最小值.解：（1）设，则表示点与点（2，1）连线的斜率.当该

7、直线与圆相切时，取得最大值与最小值.由，解得，∴的最大值为，最小值为.（2）设，则表示直线在轴上的截距.当该直线与圆相切时，取得最大值与最小值.由，解得，∴的最大值为，最小值为.问题导学六：如何利用已知条件挖掘求圆的方程的重要信息？例6、基础训练：已知点与两个定点，的距离的比为，求点的轨迹方程.探究1：已知两定点，，如果动点满足，则点的轨迹所包围的面积等于解：设点的坐标是.由，得，化简得，∴点的轨迹是以（2，0）为圆心，2为半径的圆，∴所求面积为.探究2：由动点向圆引两条切线、，切点分别为、，=600，则动点的轨迹方程是.

8、解：设.∵=600，∴=300.∵，∴，∴，化简得，∴动点的轨迹方程是.练习巩固：设为两定点，动点到点的距离与到点的距离的比为定值，求点的轨迹.解：设动点的坐标为.由，得，化简得.当时，化简得，整理得；当时，化简得.所以当时，点的轨迹是以为圆心，为半径的圆；当时，点的轨迹是轴.问题导学七：圆中动点的变化