2014高考数学总复习（基础知识+高频考点+解题训练）等比数列及其前n项和

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1、等比数列及其前n项和[知识能否忆起]1．等比数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，定义的表达式为＝q(n∈N*，q为非零常数)．(2)等比中项：如果a、G、b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．即：G是a与b的等比中项⇔a，G，b成等比数列⇒G2＝ab.2．等比数列的有关公式(1)通项公式：an＝a1qn－1.(2)前n项和公式：Sn＝3．等比数列{an}的常用性质(1)在等比数列{an}中，若m＋n

2、＝p＋q＝2r(m，n，p，q，r∈N*)，则am·an＝ap·aq＝a.特别地，a1an＝a2an－1＝a3an－2＝….(2)在公比为q的等比数列{an}中，数列am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…仍是等比数列，公比为qk；数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍是等比数列(此时q≠－1)；an＝amqn－m.[小题能否全取]1．(教材习题改编)等比数列{an}中，a4＝4，则a2·a6等于(　　)A．4　　　　　　　　　　　　　　B．8C．16D．32解析：选C　a2·a6＝a＝16.2．已知等比数列{an}的前三项依次

3、为a－1，a＋1，a＋4，则an＝(　　)A．4·nB．4·nC．4·n－1D．4·n－1解析：选C　(a＋1)2＝(a－1)(a＋4)⇒a＝5，a1＝4，q＝，故an＝4·n－1.3．已知等比数列{an}满足a1＋a2＝3，a2＋a3＝6，则a7＝(　　)A．64B．81C．128D．243解析：选A　q＝＝2，故a1＋a1q＝3⇒a1＝1，a7＝1×27－1＝64.4．(2011·北京高考)在等比数列{an}中，若a1＝，a4＝4，则公比q＝________；a1＋a2＋…＋an＝________.解析：a4＝a1q3，得4＝q3，

4、解得q＝2，a1＋a2＋…＋an＝＝2n－1－.答案：2　2n－1－5．(2012·新课标全国卷)等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＋3S2＝0，则公比q＝________.解析：∵S3＋3S2＝0，∴a1＋a2＋a3＋3(a1＋a2)＝0，∴a1(4＋4q＋q2)＝0.∵a1≠0，∴q＝－2.答案：－21.等比数列的特征(1)从等比数列的定义看，等比数列的任意项都是非零的，公比q也是非零常数．(2)由an＋1＝qan，q≠0并不能立即断言{an}为等比数列，还要验证a1≠0.2．等比数列的前n项和Sn(1)等比数列的前n项和Sn

5、是用错位相减法求得的，注意这种思想方法在数列求和中的运用．(2)在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q＝1与q≠1分类讨论，防止因忽略q＝1这一特殊情形导致解题失误．等比数列的判定与证明典题导入[例1]　已知数列{an}的前n项和为Sn，且an＋Sn＝n.(1)设cn＝an－1，求证：{cn}是等比数列；(2)求数列{an}的通项公式．[自主解答]　(1)证明：∵an＋Sn＝n，①∴an＋1＋Sn＋1＝n＋1.②②－①得an＋1－an＋an＋1＝1，∴2an＋1＝an＋1，∴2(an＋1－1)＝an－1，∴＝.∵首项c1＝a1－1

6、，又a1＋a1＝1，∴a1＝，c1＝－.又cn＝an－1，故{cn}是以－为首项，为公比的等比数列．(2)由(1)可知cn＝·n－1＝－n，∴an＝cn＋1＝1－n.在本例条件下，若数列{bn}满足b1＝a1，bn＝an－an－1(n≥2)，证明{bn}是等比数列．证明：∵由(2)知an＝1－n，∴当n≥2时，bn＝an－an－1＝1－n－＝n－1－n＝n.又b1＝a1＝也符合上式，∴bn＝n.∵＝，∴数列{bn}是等比数列．由题悟法等比数列的判定方法(1)定义法：若＝q(q为非零常数，n∈N*)或＝q(q为非零常数且n≥2，n∈N*)

7、，则{an}是等比数列．(2)等比中项法：若数列{an}中，an≠0且a＝an·an＋2(n∈N*)，则数列{an}是等比数列．(3)通项公式法：若数列通项公式可写成an＝c·qn(c，q均是不为0的常数，n∈N*)，则{an}是等比数列．以题试法1．(2012·沈阳模拟)已知函数f(x)＝logax，且所有项为正数的无穷数列{an}满足logaan＋1－logaan＝2，则数列{an}(　　)A．一定是等比数列B．一定是等差数列C．既是等差数列又是等比数列D．既不是等差数列又不是等比数列解析：选A　由logaan＋1－logaan＝2

8、，得loga＝2＝logaa2，故＝a2.又a>0且a≠1，所以数列{an}为等比数列．等比数列的基本运算典题导入[例2]　(2011·全国高考)设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知a2＝6,6a1＋a