2014高考数学总复习 5-5 数列求和练习 苏教版

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1、【高考领航】2014高考数学总复习5-5数列求和练习苏教版【A组】一、填空题1.(2012·高考江西卷)观察下列事实

2、x

3、+

4、y

5、=1的不同整数解(x,y)的个数为4,

6、x

7、+

8、y

9、=2的不同整数解(x,y)的个数为8,

10、x

11、+

12、y

13、=3的不同整数解(x,y)的个数为12……则

14、x

15、+

16、y

17、=20的不同整数解(x,y)的个数为________.解析:通过类比可证20×4=80.答案:802.设函数f(x)=xm+ax的导数为f′(x)=2x+1,则数列{}(n∈N*)的前n项和是________.解析:∵f(x)=xm+ax的导数为f′(x)=2x+1,∴m=2,

18、a=1,∴f(x)=x2+x,即f(n)=n2+n=n(n+1),∴数列{},(n∈N*)的前n项和为:Sn=+++…+=(1-)+(-)+…+(-)=1-=.答案:3.(2012·高考福建卷)数列{an}的通项公式an=ncos,其前n项和为Sn,则S2012等于________.解析:因cos呈周期性出现,则观察此数列求和规律,列项如下:a1=0,a2=-2,a3=0,a4=4,此4项的和为2.a5=0,a6=-6,a7=0,a8=8,此4项的和为2.依次类推,得S2012=(a1+a2+a3+a4)+(a5+a6+a7+a8)+…+(a2009+a2010+

19、a2011+a2012)=×2=1006.答案:10064.正方形ABCD的边长是a,依次连结正方形ABCD各边中点得到一个新的正方形,再依次连结正方形各边中点又得到一个新的正方形,依此得到一系列的正方形.如图所示,现有一只小虫从A点出发,沿正方形的边逆时针方向爬行,每遇到新正方形的顶点时,沿这个正方形的边逆时针方向爬行,如此下去,爬行了10条线段.则这10条线段的长度的平方和是________.解析:小虫爬行的线段长度依次为:,a,a,…,它们的平方依次构成公比为的等比数列.S10==·=a2.答案:a25.函数y=x2(x>0)的图象在点(ak,a)处的切线与

20、x轴的交点的横坐标为ak+1,其中k∈N*若a1=16,则a1+a3+a5的值是________.解析:∵y′=2x,∴k=y′

21、x=ak=2ak,∴切线方程:y-a=2ak(x-ak),令y=0,得x=ak,即:ak+1=ak,∴{ak}是以首项为16,公比为的等比数列,∴ak=16·n-1,∴a1+a3+a5=16+4+1=21.答案:216.(2011·高考安徽卷)若数列{an}的通项公式是an=(-1)n(3n-2),则a1+a2+…+a10=________.解析:记bn=3n-2,则数列{bn}是以1为首项,3为公差的等差数列,所以a1+a2+…+a9

22、+a10=(-b1)+b2+…+(-b9)+b10=(b2-b1)+(b4-b3)+…+(b10-b9)=5×3=15.答案:157.已知函数f(x)=.求和S=f+f+f+…+f,则S=________.解析:由于f(x)=,所以f(y)=,当x+y=1时,有f(x)+f(y)=+===1,于是f(x)+f(y)=1.因此若令S=f+f+f+…+f,则S=f+f+f+…+f,于是2S=2010=2010,故S=1005.答案:1005二、解答题8.(2011·高考湖北卷)成等差数列的三个正数的和等于15,并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{bn}中的

23、b3、b4、b5.(1)求数列{bn}的通项公式;(2)数列{bn}的前n项和为Sn,求证:数列是等比数列.解:(1)设成等差数列的三个正数分别为a-d,a,a+d.依题意,得a-d+a+a+d=15,解得a=5.所以{bn}中的b3,b4,b5依次为7-d,10,18+d.依题意,有(7-d)(18+d)=100,解得d=2或d=-13(舍去),故{bn}的第3项为5,公比为2.由b3=b1·22,即5=b1·22,解得b1=.所以{bn}是以为首项,2为公比的等比数列,其通项公式为bn=·2n-1=5·2n-3.(2)证明:数列{bn}的前n项和Sn==5·2

24、n-2-,即Sn+=5·2n-2,所以S1+=,==2.因此是以为首项,公比为2的等比数列.9.(2012·高考江西卷)已知数列

25、an

26、的前n项和Sn=kcn-k(其中c,k为常数),且a2=4,a6=8a3.(1)求an;(2)求数列{nan}的前n项和Tn.解:(1)由Sn=kcn-k,得an=Sn-Sn-1=kcn-kcn-1(n≥2),由a2=4,a6=8a3,得kc(c-1)=4,kc5(c-1)=8kc2(c-1).解得,所以a1=S1=2,an=kcn-kcn-1=2n(n≥2),于是an=2n.(2)Tn=ai=·2i,即Tn=2+2·22+3·2

27、3+4·2

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